解説

方針・初手

まず

$$ t=e^{-x^2}+\frac14 x^2+1 $$

とおくと，求める関数は

$$ f(x)=t+\frac1t $$

と書ける。

したがって，先に $t$ の動く範囲を調べ，そのうえで $t+\dfrac1t$ の増減を見ればよい。

解法1

$u=x^2$ とおくと，$-1\leqq x\leqq 1$ より

$$ 0\leqq u\leqq 1 $$

であり，

$$ t=e^{-u}+\frac14u+1 $$

となる。

ここで

$$ \frac{dt}{du}=-e^{-u}+\frac14 $$

である。

$0\leqq u\leqq 1$ においては

$$ e^{-u}\geqq e^{-1} $$

であり，しかも

$$ e^{-1}>\frac14 $$

だから，

$$ \frac{dt}{du}=-e^{-u}+\frac14<0 $$

が成り立つ。よって $t$ は $u$ の増加とともに単調減少する。

したがって，$u=0$ のとき最大，$u=1$ のとき最小であるから，

$$ t_{\max}=e^0+\frac14\cdot 0+1=2 $$

$$ t_{\min}=e^{-1}+\frac14\cdot 1+1=\frac1e+\frac54 $$

を得る。

次に

$$ g(t)=t+\frac1t $$

とおくと，

$$ g'(t)=1-\frac1{t^2} $$

である。

今，$t\geqq \dfrac1e+\dfrac54>1$ であるから，

$$ g'(t)>0 $$

となる。したがって $g(t)$ はこの範囲で単調増加する。

ゆえに，$f(x)=g(t)$ は $t$ が最大のとき最大，$t$ が最小のとき最小となる。

（1） 最大値

$t=2$ のとき

$$ f(x)=2+\frac12=\frac52 $$

したがって最大値は

$$ \frac52 $$

である。これは $x=0$ のときにとる。

（2） 最小値

$t=\dfrac1e+\dfrac54$ のとき

$$ f(x)=\left(\frac1e+\frac54\right)+\frac{1}{\frac1e+\frac54} $$

したがって最小値は

$$ \frac1e+\frac54+\frac{1}{\frac1e+\frac54} $$

である。これは $x=\pm 1$ のときにとる。

なお，

$$ \frac{1}{\frac1e+\frac54}=\frac{4e}{5e+4} $$

であるから，最小値は

$$ \frac1e+\frac54+\frac{4e}{5e+4} $$

と書いてもよい。

解説

この問題のポイントは，そのまま微分して極値を調べるよりも，

$$ e^{-x^2}+\frac14x^2+1 $$

をひとつの文字でおくことで

$$ f(x)=t+\frac1t $$

という典型的な形に落とすことである。

あとは $t$ 自体の範囲を調べ，$t>1$ のもとで $t+\dfrac1t$ が単調増加することを使えばよい。区間が $-1\leqq x\leqq 1$ であるため，$x^2$ を $u$ とおいて処理すると見通しがよい。

答え

**(1)**

最大値は

$$ \frac52 $$

であり，$x=0$ のときにとる。

**(2)**

最小値は

$$ \frac1e+\frac54+\frac{1}{\frac1e+\frac54} $$

であり，$x=\pm1$ のときにとる。