解説

方針・初手

曲線 $y=\cos x$ の $x=t$ における接線を求め，それが点 $P(a,b)$ を通る条件を $t$ の方程式に直す。

すると，$N(P)$ はある関数の水平線との交点個数に言い換えられるので，その関数の増減を調べれば $N(P)=4$ となる $P$ の範囲が分かる。

解法1

曲線 $y=\cos x$ 上の点 $(t,\cos t)$ における接線の傾きは

$$ -\sin t $$

であるから，その接線は

$$ y-\cos t=-\sin t(x-t) $$

すなわち

$$ y=\cos t+(t-x)\sin t $$

である。

この接線が $P(a,b)$ を通る条件は

$$ b=\cos t+(t-a)\sin t $$

である。そこで

$$ f_a(t)=\cos t+(t-a)\sin t \qquad (-\pi\le t\le \pi) $$

とおくと，$N(P)$ は方程式

$$ f_a(t)=b $$

の解の個数に等しい。

したがって，$0<a<\pi$ を固定したときの $f_a(t)$ のグラフと水平線 $y=b$ の交点個数を調べればよい。

$f_a(t)$ を微分すると

$$ f_a'(t)=-\sin t+\sin t+(t-a)\cos t=(t-a)\cos t $$

となる。

よって，$f_a'(t)=0$ となるのは

$$ t=-\frac{\pi}{2},\quad t=\frac{\pi}{2},\quad t=a $$

である。

また，各点での値は

$$ f_a(-\pi)=-1,\qquad f_a(\pi)=-1, $$

$$ f_a!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=a+\frac{\pi}{2}, \qquad f_a!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-a, \qquad f_a(a)=\cos a $$

である。

以下，$a$ の位置で場合分けする。

（i） $0<a<\dfrac{\pi}{2}$ の場合

このとき臨界点の並びは

$$ -\pi<-\frac{\pi}{2}<a<\frac{\pi}{2}<\pi $$

であり，$f_a'(t)=(t-a)\cos t$ の符号より，

• $[-\pi,-\dfrac{\pi}{2}]$ で増加
• $[-\dfrac{\pi}{2},a]$ で減少
• $[a,\dfrac{\pi}{2}]$ で増加
• $[\dfrac{\pi}{2},\pi]$ で減少

となる。

したがって，$f_a(t)$ は $t=-\dfrac{\pi}{2}$ で極大， $t=a$ で極小， $t=\dfrac{\pi}{2}$ で極大をとる。

ここで

$$ \cos a<\frac{\pi}{2}-a $$

が成り立つことを確認する。

実際，

$$ g(a)=\cos a-\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cos a+a-\frac{\pi}{2} $$

とおくと，

$$ g'(a)=1-\sin a>0 \qquad \left(0<a<\frac{\pi}{2}\right) $$

であり，さらに

$$ g!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 $$

なので，$0<a<\dfrac{\pi}{2}$ では $g(a)<0$，すなわち

$$ \cos a<\frac{\pi}{2}-a $$

である。

よって，$y=b$ がグラフと 4 点で交わるのは，水平線が極小値 $\cos a$ と右側の極大値 $\dfrac{\pi}{2}-a$ の間にあるとき，すなわち

$$ \cos a<b<\frac{\pi}{2}-a $$

のときに限る。

（ii） $\dfrac{\pi}{2}<a<\pi$ の場合

このとき臨界点の並びは

$$ -\pi<-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2}<a<\pi $$

であり，符号を調べると，

• $[-\pi,-\dfrac{\pi}{2}]$ で増加
• $[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$ で減少
• $[\dfrac{\pi}{2},a]$ で増加
• $[a,\pi]$ で減少

となる。

したがって，$t=\dfrac{\pi}{2}$ で極小， $t=a$ で極大をとる。

今度は

$$ \frac{\pi}{2}-a<\cos a $$

が成り立つ。

実際，先ほどの

$$ g(a)=\cos a+a-\frac{\pi}{2} $$

について，

$$ g'(a)=1-\sin a>0 \qquad \left(\frac{\pi}{2}<a<\pi\right) $$

であり，

$$ g!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0 $$

だから，$\dfrac{\pi}{2}<a<\pi$ では $g(a)>0$ である。したがって

$$ \frac{\pi}{2}-a<\cos a $$

である。

よって，$y=b$ が 4 点で交わるのは

$$ \frac{\pi}{2}-a<b<\cos a $$

のときに限る。

（iii） まとめ

（i），（ii） をまとめると，$0<a<\pi$ に対して $N(P)=4$ となる条件は

$$ \bigl(b-\cos a\bigr)\left(b-\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\right)<0 $$

である。

すなわち，点 $P(a,b)$ は

• 直線 $y=\dfrac{\pi}{2}-x$
• 曲線 $y=\cos x$

の間にあり，

• さらに $0<x<\pi$

を満たす開領域に存在する。

解説

接線が点 $P(a,b)$ を通る条件を，接点の $x$ 座標 $t$ に関する方程式

$$ f_a(t)=b $$

に直すのが本問の核心である。

微分すると

$$ f_a'(t)=(t-a)\cos t $$

と非常に簡単になり，極値をとる位置が $t=-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2},a$ の 3 点に限られる。したがって，$f_a$ のグラフは高々 4 回しか水平線と交わらず，$N(P)=4$ となるのは「真ん中の極小値と極大値の間」に水平線がある場合である。

その両端の値が $\cos a$ と $\dfrac{\pi}{2}-a$ になっているので，結局「曲線 $y=\cos x$ と直線 $y=\dfrac{\pi}{2}-x$ の間の領域」として図示できる。

答え

$N(P)=4$ かつ $0<a<\pi$ となる点 $P(a,b)$ の存在範囲は

$$ 0<a<\pi,\qquad \bigl(b-\cos a\bigr)\left(b-\left(\frac{\pi}{2}-a\right)\right)<0 $$

である。

したがって，座標平面上では

$$ 0<x<\pi $$

の範囲で，曲線

$$ y=\cos x $$

と直線

$$ y=\frac{\pi}{2}-x $$

に挟まれた開領域である。境界は含まない。