解説

方針・初手

与えられた等式

$$ \int_0^x f(t),dt=x e^{-ax^2} $$

は、両辺を $x$ で微分すれば $f(x)$ が直接求まる。

そのうえで、方程式 $f(x)=b$ の実数解の個数は、$f'(x)$ を調べてグラフの増減と極値を把握すれば判定できる。特に $a$ の符号で様子が大きく変わるので、$a>0$ と $a<0$ に分けて考える。

解法1

**(1)**

$f(x)$ を求める。

微積分の基本定理より、左辺を $x$ で微分すると $f(x)$ になる。したがって

$$ f(x)=\frac{d}{dx}\left(xe^{-ax^2}\right) $$

である。

これを計算すると

$$ \begin{aligned} f(x) &=e^{-ax^2}+x\cdot(-2ax)e^{-ax^2} \\ &=(1-2ax^2)e^{-ax^2}. \end{aligned} $$

よって

$$ f(x)=(1-2ax^2)e^{-ax^2} $$

である。

（2） 方程式 $f(x)=b$ が異なる $4$ 個の実数解をもつための $a,b$ の条件を求める。

**まず増減を調べる。**

$$ f(x)=(1-2ax^2)e^{-ax^2} $$

を微分すると

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(-4ax)e^{-ax^2}+(1-2ax^2)(-2ax)e^{-ax^2} \\ &=2ax(2ax^2-3)e^{-ax^2}. \end{aligned} $$

ここで $e^{-ax^2}>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は

$$ 2ax(2ax^2-3) $$

の符号で決まる。

また、$f(x)$ は $x^2$ の式で表されるので偶関数である。

（i） $a<0$ の場合

このとき $2ax^2-3<0$ が常に成り立つので、$f'(x)$ の符号は $x$ の符号と逆になる。したがって

• $x<0$ で $f'(x)<0$
• $x>0$ で $f'(x)>0$

となるから、$x=0$ で最小値をとる。

しかも

$$ f(0)=1 $$

であり、さらに $a<0$ なら

$$ f(x)=(1+2|a|x^2)e^{|a|x^2}\to \infty \qquad (|x|\to\infty) $$

である。

よって $y=f(x)$ のグラフは $x=0$ で最小値 $1$ をとる偶関数であり、水平線 $y=b$ と交わる個数は

• $b<1$ のとき $0$ 個
• $b=1$ のとき $1$ 個
• $b>1$ のとき $2$ 個

である。したがって、異なる $4$ 個の実数解をもつことはない。

（ii） $a>0$ の場合

このとき

$$ f'(x)=2ax(2ax^2-3)e^{-ax^2} $$

より、臨界点は

$$ x=0,\quad x=\pm \sqrt{\frac{3}{2a}} $$

である。

符号変化を調べると、

• $x<-\sqrt{\frac{3}{2a}}$ で $f'(x)<0$
• $-\sqrt{\frac{3}{2a}}<x<0$ で $f'(x)>0$
• $0<x<\sqrt{\frac{3}{2a}}$ で $f'(x)<0$
• $x>\sqrt{\frac{3}{2a}}$ で $f'(x)>0$

となる。

したがって

• $x=0$ で極大値
• $x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{2a}}$ で極小値

をとる。

実際、

$$ f(0)=1 $$

であり、

$$ \begin{aligned} f\left(\pm\sqrt{\frac{3}{2a}}\right) &=\left(1-2a\cdot \frac{3}{2a}\right)e^{-a\cdot \frac{3}{2a}} \\ &=(1-3)e^{-3/2} \\ &=-2e^{-3/2}. \end{aligned} $$

さらに、問題文で与えられている

$$ \lim_{u\to\infty}u^2e^{-u^2}=0 $$

を用いると、$u=\sqrt{a},x$ とおけば

$$ x^2e^{-ax^2}=\frac{1}{a}u^2e^{-u^2}\to 0 \qquad (x\to\infty) $$

である。よって

$$ f(x)=(1-2ax^2)e^{-ax^2}=e^{-ax^2}-2a x^2e^{-ax^2}\to 0 \qquad (x\to\infty). $$

しかも十分大きい $x$ では $1-2ax^2<0$ なので、

$$ f(x)\to 0^{-} \qquad (x\to\pm\infty) $$

である。

以上より、$a>0$ のときのグラフは、偶関数で

• $x=0$ で値 $1$ の極大
• $x=\pm\sqrt{\dfrac{3}{2a}}$ で値 $-2e^{-3/2}$ の極小
• $|x|\to\infty$ で $0^-$ に近づく

という形になる。

したがって、水平線 $y=b$ と $4$ 点で交わるのは、$b$ が極小値と $0$ の間にあるとき、すなわち

$$ -2e^{-3/2}<b<0 $$

のときに限る。

実際この範囲では、$x>0$ において

• $0<x<\sqrt{\dfrac{3}{2a}}$ に $1$ 個
• $x>\sqrt{\dfrac{3}{2a}}$ に $1$ 個

の解をもち、偶関数であるから負の側にも対称に $2$ 個あり、合計 $4$ 個の異なる実数解をもつ。

以上より必要十分条件は

$$ a>0,\quad -2e^{-3/2}<b<0 $$

である。

解説

この問題の本質は、まず積分方程式を微分して $f(x)$ を具体化することにある。その後は単なる関数のグラフの問題になる。

$4$ 個の実数解をもつためには、偶関数であることから、正の側に $2$ 個、負の側に $2$ 個の解が必要である。したがって $a>0$ の場合に現れる「中央が高く、左右に谷があり、その先で $0^-$ に戻る」形を正確につかむことが重要である。

特に $a<0$ の場合は谷が1つしかできず、解は高々 $2$ 個である。この切り分けを先に行うと見通しがよい。

答え

**(1)**

$$ f(x)=(1-2ax^2)e^{-ax^2} $$

**(2)**

方程式 $f(x)=b$ が異なる $4$ 個の実数解をもつための必要十分条件は

$$ a>0,\quad -2e^{-3/2}<b<0 $$

である。