解説

方針・初手

$a^x\geqq x$ は両辺とも正であるから、対数をとって

$$ x\ln a\geqq \ln x $$

とみるのが自然である。すると、$\ln a$ が関数

$$ g(x)=\frac{\ln x}{x} $$

の最大値以上であればよいことになる。

解法1

$a>0,\ x>0$ であるから、与えられた不等式

$$ a^x\geqq x $$

は、$\log$ の単調増加性より

$$ x\ln a\geqq \ln x $$

と同値である。さらに $x>0$ なので、両辺を $x$ で割ると

$$ \ln a\geqq \frac{\ln x}{x} $$

となる。したがって、これが任意の $x>0$ で成り立つための必要十分条件は、

$$ \ln a\geqq \max_{x>0}\frac{\ln x}{x} $$

である。

そこで

$$ g(x)=\frac{\ln x}{x}\qquad (x>0) $$

とおくと、

$$ g'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} $$

である。$x^2>0$ だから、$g'(x)$ の符号は $1-\ln x$ の符号で決まる。

したがって、

**(i)**

$0<x<e$ のとき $g'(x)>0$

**(ii)**

$x>e$ のとき $g'(x)<0$

であるから、$g(x)$ は $x=e$ で最大値をとる。

その最大値は

$$ g(e)=\frac{\ln e}{e}=\frac{1}{e} $$

である。よって必要十分条件は

$$ \ln a\geqq \frac{1}{e} $$

すなわち

$$ a\geqq e^{1/e} $$

である。

解法2

まず $x=e$ を代入すると、

$$ a^e\geqq e $$

でなければならないから、

$$ a\geqq e^{1/e} $$

は必要条件である。

次に、$a=e^{1/e}$ のとき本当に任意の $x>0$ で成り立つことを示す。このとき

$$ a^x=e^{x/e} $$

である。

指数関数 $y=e^t$ は凸であるから、$t=1$ における接線

$$ y=e(t-1)+e=et $$

の上に常にある。したがって任意の $t>0$ に対して

$$ e^t\geqq et $$

が成り立つ。

ここで

$$ t=\frac{x}{e} $$

とおけば、

$$ e^{x/e}\geqq e\cdot \frac{x}{e}=x $$

となる。よって $a=e^{1/e}$ のとき $a^x\geqq x$ は任意の $x>0$ で成り立つ。

さらに $a>e^{1/e}$ なら、各 $x>0$ について $a^x$ は $a$ に関して増加するから、

$$ a^x\geqq \left(e^{1/e}\right)^x\geqq x $$

である。

以上より、求める範囲は

$$ a\geqq e^{1/e} $$

である。

解説

本問の本質は、$a^x\geqq x$ をそのまま扱うのではなく、

$$ \ln a\geqq \frac{\ln x}{x} $$

に変形して、右辺の最大値を調べる点にある。$\dfrac{\ln x}{x}$ の最大値を求めるのは典型処理であり、微分すると $x=e$ が極値点として自然に現れる。

別解では、まず $x=e$ を代入して必要条件を抜き出し、その後 $e^t\geqq et$ を用いて十分性を示している。こちらは指数関数の凸性や接線評価を使う見通しのよい解法である。

答え

$$ a\geqq e^{1/e} $$