解説

方針・初手

点 $P(a,\cos a)$ における接線の傾きを微分で求めれば、法線の傾きが定まる。 そこで、まず法線の方程式を立てて $x$ 軸との交点 $Q$ の座標を求め、最後に $PQ$ の長さを計算する。

解法1

曲線 $y=\cos x$ の導関数は

$$ y'=-\sin x $$

である。

したがって、点 $P(a,\cos a)$ における接線の傾きは $-\sin a$ である。 ここで $0<a<\pi$ より $\sin a>0$ であるから、法線の傾きは

$$ \frac{1}{\sin a} $$

となる。

よって、法線の方程式は

$$ y-\cos a=\frac{1}{\sin a}(x-a) $$

である。

この法線と $x$ 軸との交点を $Q$ とする。 $Q$ は $x$ 軸上の点であるから $y=0$ を代入して

$$ -\cos a=\frac{1}{\sin a}(x-a) $$

となる。これを解くと

$$ x=a-\sin a\cos a $$

である。したがって、

$$ Q(a-\sin a\cos a,,0) $$

である。

よって、2点 $P,Q$ 間の距離 $f(a)$ は

$$ f(a)^2 =\left(a-(a-\sin a\cos a)\right)^2+(\cos a-0)^2 $$

すなわち

$$ f(a)^2 =(\sin a\cos a)^2+\cos^2 a =\cos^2 a(1+\sin^2 a) $$

となる。

さらに $\cos^2 a=1-\sin^2 a$ を用いると

$$ f(a)^2 =(1-\sin^2 a)(1+\sin^2 a) =1-\sin^4 a $$

であるから、

$$ f(a)=\sqrt{1-\sin^4 a} $$

を得る。

次に、$f(a)\le \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となる $a$ の範囲を求める。

$f(a)\ge 0$ であるから、両辺を2乗してよい。すると

$$ 1-\sin^4 a\le \frac{3}{4} $$

すなわち

$$ \sin^4 a\ge \frac{1}{4} $$

となる。

ここで $0<a<\pi$ より $\sin a>0$ であるから、

$$ \sin^2 a\ge \frac{1}{2} $$

と同値である。さらに

$$ \sin a\ge \frac{1}{\sqrt{2}} $$

となるので、

$$ \frac{\pi}{4}\le a\le \frac{3\pi}{4} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、法線の長さを直接求めようとするのではなく、まず法線の方程式を立てて交点 $Q$ を具体的に出すことである。

また、(1) で得られた

$$ f(a)^2=1-\sin^4 a $$

という形に直しておくと、(2) の不等式処理が非常に簡潔になる。 $\sin a$ は $0<a<\pi$ で正であることを使うと、4乗や2乗の不等式を自然に整理できる。

答え

**(1)**

$$ f(a)=\sqrt{1-\sin^4 a} $$

**(2)**

$$ \frac{\pi}{4}\le a\le \frac{3\pi}{4} $$