解説

方針・初手

不等式

$$ a^x \ge ax $$

がすべての正の数 $x$ に対して成り立つという条件を、対数を用いて $x$ の関数の最小値の問題に直す。

$a>0$ であるから $\log a$ を用いて式変形でき、最終的には基本不等式

$$ \log t \le t-1 \qquad (t>0) $$

を使う形に持ち込める。

解法1

$a>0$ とし、さらに

$$ a^x \ge ax \qquad (x>0) $$

がすべての正の数 $x$ で成り立つとする。

まず $a\le 1$ は不可能であることを示す。

**(i)**

$0<a<1$ のとき、$x\to\infty$ で $a^x\to 0$ である一方、$ax\to\infty$ である。したがって十分大きい $x$ で

$$ a^x<ax $$

となり、条件に反する。

**(ii)**

$a=1$ のとき、不等式は

$$ 1\ge x $$

となるが、これはすべての $x>0$ では成り立たない。

よって

$$ a>1 $$

でなければならない。

ここで

$$ t=\log a $$

とおくと、$a=e^t$ であり、$a>1$ より $t>0$ である。

与えられた不等式は

$$ e^{tx}\ge e^t x $$

すなわち

$$ e^{t(x-1)}\ge x $$

と変形できる。両辺は正であるから対数をとって

$$ t(x-1)-\log x\ge 0 $$

を得る。

そこで

$$ f(x)=t(x-1)-\log x \qquad (x>0) $$

とおくと、条件は

$$ f(x)\ge 0 \qquad (x>0) $$

であることに等しい。

$f$ を微分すると

$$ f'(x)=t-\frac1x $$

であるから、$f'(x)=0$ となるのは

$$ x=\frac1t $$

のときである。また

$$ f''(x)=\frac1{x^2}>0 $$

であるから、$x=\dfrac1t$ で $f$ は最小値をとる。

したがって、すべての $x>0$ で $f(x)\ge 0$ となるための必要十分条件は

$$ f\left(\frac1t\right)\ge 0 $$

である。

実際に計算すると

$$ \begin{aligned} f\left(\frac1t\right) &=t\left(\frac1t-1\right)-\log\left(\frac1t\right) \\ &=1-t+\log t. \end{aligned} $$

よって必要十分条件は

$$ 1-t+\log t\ge 0 $$

すなわち

$$ \log t\ge t-1 $$

である。

しかし、任意の $t>0$ に対して基本不等式

$$ \log t\le t-1 $$

が成り立ち、等号は $t=1$ のときに限る。

したがって

$$ \log t\ge t-1 $$

が成り立つためには等号成立の場合しかなく、

$$ t=1 $$

である。

ゆえに

$$ \log a=1 $$

より

$$ a=e $$

である。

最後に確認すると、$a=e$ のとき

$$ e^x\ge ex $$

は

$$ e^{x-1}\ge x $$

と同値であり、これは $\log x\le x-1$ により確かにすべての $x>0$ で成り立つ。

したがって求める $a$ は

$$ a=e $$

のみである。

解説

この問題の本質は、底が定数の指数関数 $a^x$ と一次関数 $ax$ の大小を、対数を使って

$$ t(x-1)-\log x $$

の最小値の問題に直すことである。

また、途中で現れる

$$ \log t\le t-1 $$

は非常に基本的な不等式であり、等号成立が $t=1$ のみであることまで使うと一意に $a=e$ が定まる。

$x=1$ では常に等号が成り立つので、それだけでは $a$ は決まらない。すべての $x>0$ で成り立つという強い条件から、最小値まで調べる必要があるのがポイントである。

答え

$$ a=e $$

のみである。