解説

方針・初手

(1) は $\sin t$ に平均値の定理を適用すればすぐに示せる。

(2) は

$$ R(t)=\cos(x+t)-\cos x+t\sin x $$

とおいて、この $R(t)$ に平均値の定理を使うと、結局は $\sin$ の差の評価に帰着する。そこに (1) を用いればよい。

解法1

$h=0$ のときは、(1)(2) ともに明らかである。以下、$h\neq 0$ とする。

**(1)**

$f(t)=\sin t$ とおく。

$f$ は $x$ と $x+h$ の間の区間で微分可能であるから、平均値の定理より、その間のある実数 $\xi$ が存在して

$$ \sin(x+h)-\sin x=h\cos \xi $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} |\sin(x+h)-\sin x| &= |h|,|\cos \xi| \le |h| \end{aligned} $$

であり、(1) が成り立つ。

**(2)**

$$ R(t)=\cos(x+t)-\cos x+t\sin x $$

とおくと、$R(0)=0$ である。

ここで $R$ は $0$ と $h$ の間の区間で微分可能であるから、平均値の定理より、その間のある実数 $\eta$ が存在して

$$ R(h)-R(0)=hR'(\eta) $$

となる。

$R'(t)$ を計算すると

$$ R'(t)=-\sin(x+t)+\sin x $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \cos(x+h)-\cos x+h\sin x &= h\bigl(-\sin(x+\eta)+\sin x\bigr) \end{aligned} $$

を得る。

よって

$$ \begin{aligned} |\cos(x+h)-\cos x+h\sin x| &= |h|,|\sin(x+\eta)-\sin x| \end{aligned} $$

となる。

ここで (1) を $x,\eta$ に対して適用すると

$$ |\sin(x+\eta)-\sin x|\le |\eta| $$

である。また、$\eta$ は $0$ と $h$ の間の数であるから

$$ |\eta|\le |h| $$

が成り立つ。

したがって

$$ \begin{aligned} |\cos(x+h)-\cos x+h\sin x| \le |h|,|\eta| \le |h|^2 &= h^2 \end{aligned} $$

となり、(2) も示された。

解説

(1) は、$\sin t$ の導関数が $\cos t$ であり、常に $|\cos t|\le 1$ であることを平均値の定理で表したものである。すなわち、$\sin$ は入力の変化量以上には変化しない。

(2) は、$\cos(x+h)$ を $h=0$ のまわりで一次近似したときの誤差の評価である。誤差そのものに平均値の定理を適用すると、その誤差は $\sin$ の差で表されるので、(1) をそのまま利用できる。一次近似の誤差をさらに平均値の定理で押さえる、という流れが重要である。

答え

**(1)**

$$ |\sin(x+h)-\sin x|\le |h| $$

**(2)**

$$ |\cos(x+h)-\cos x+h\sin x|\le h^2 $$