解説

方針・初手

示すべき不等式は

$$ \log x \le \frac{2}{e}\sqrt{x} $$

である。

右辺に $\sqrt{x}$ があるので、$\dfrac{\log x}{\sqrt{x}}$ の最大値を調べればよい。そこで

$$ f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}} \qquad (x>0) $$

とおいて増減を調べる。

解法1

$f(x)=x^{-1/2}\log x$ とみて微分すると、

$$ f'(x)=\left(x^{-1/2}\right)'\log x+x^{-1/2}\left(\log x\right)' $$

であるから、

$$ f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-3/2}\log x+x^{-3/2} =\frac{1}{x^{3/2}}\left(1-\frac{1}{2}\log x\right) $$

となる。

ここで $x>0$ では $x^{3/2}>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は

$$ 1-\frac{1}{2}\log x $$

の符号で決まる。

したがって、

$$ f'(x)>0 \iff \log x<2 \iff x<e^2, $$

$$ f'(x)=0 \iff x=e^2, $$

$$ f'(x)<0 \iff \log x>2 \iff x>e^2 $$

である。

よって $f(x)$ は $x=e^2$ のとき最大値をとる。その最大値は

$$ f(e^2)=\frac{\log(e^2)}{\sqrt{e^2}} =\frac{2}{e} $$

である。

したがって、任意の $x>0$ に対して

$$ \frac{\log x}{\sqrt{x}} \le \frac{2}{e} $$

が成り立つ。両辺に $\sqrt{x}>0$ を掛ければ、

$$ \log x \le \frac{2}{e}\sqrt{x} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、$\log x$ と $\sqrt{x}$ をそのまま比較するのではなく、

$$ \frac{\log x}{\sqrt{x}} $$

という比に直して最大値を調べることである。

実際、$\log x$ は増加するが、$\sqrt{x}$ も増加するので、どちらが大きいかを直接判断するのは扱いにくい。比をとれば、微分によって極大値が $x=e^2$ であることが分かり、そこから不等式全体が従う。

答え

$$ \frac{\log x}{\sqrt{x}} \le \frac{2}{e} \qquad (x>0) $$

であり、したがって

$$ \log x \le \frac{2}{e}\sqrt{x} \qquad (x>0) $$

が成り立つ。等号は $x=e^2$ のとき成立する。