解説

注意

画像下段の右辺は $\dfrac{30-2\sqrt{195}}{5}$ と読んで解答する。$\sqrt{196}$ と読むと右辺が $\dfrac{2}{5}$ となり，示すべき不等式と矛盾するためである。

方針・初手

$(1)$ は $\cos x-\left(1-\dfrac{x^2}{2}\right)$ を考え，その導関数の符号を調べる。

$(2)$ は $1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}-\cos x$ を考えると，その導関数の符号判定に $(1)$ がそのまま使える。

$(3)$ は $3,4,5$ の三角形が直角三角形であることから $\cos\theta=\dfrac45$ を得て，$(1)$，$(2)$ を $\theta$ に適用する。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2} $$

とおく。すると

$$ f'(x)=x-\sin x $$

である。ここで

$$ g(x)=x-\sin x $$

とおくと，

$$ g'(x)=1-\cos x\geqq 0 $$

であり，しかも $g(0)=0$ である。したがって $g(x)$ は $x\geqq 0$ で増加し，$x>0$ では

$$ g(x)>0 $$

となる。よって $f'(x)>0$ であるから，$f(x)$ は $x>0$ で増加する。

また $f(0)=0$ であるから，$x>0$ に対して

$$ f(x)>0 $$

すなわち

$$ \cos x-1+\frac{x^2}{2}>0 $$

となる。したがって

$$ 1-\frac{x^2}{2}<\cos x $$

が成り立つ。

**(2)**

$$ F(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cos x $$

とおく。すると

$$ F'(x)=-x+\frac{x^3}{6}+\sin x =\sin x-x+\frac{x^3}{6} $$

である。さらにこれを微分すると

$$ F''(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2} $$

となる。

ここで $(1)$ より，$x>0$ では

$$ \cos x-1+\frac{x^2}{2}>0 $$

であるから，

$$ F''(x)>0 \qquad (x>0) $$

である。したがって $F'(x)$ は $x>0$ で増加する。

しかも

$$ F'(0)=0 $$

であるから，$x>0$ では

$$ F'(x)>0 $$

となる。ゆえに $F(x)$ は $x>0$ で増加し，また

$$ F(0)=0 $$

より，$x>0$ では

$$ F(x)>0 $$

である。すなわち

$$ 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cos x>0 $$

であるから，

$$ \cos x<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} $$

が成り立つ。

**(3)**

辺の長さが $3,4,5$ の三角形は

$$ 3^2+4^2=5^2 $$

より直角三角形である。最小の内角 $\theta$ は最短辺 $3$ の向かい側の角であるから，

$$ \cos\theta=\frac45,\qquad 0<\theta<\frac{\pi}{2} $$

が成り立つ。

まず $(1)$ を $x=\theta$ に適用すると，

$$ 1-\frac{\theta^2}{2}<\cos\theta=\frac45 $$

であるから，

$$ 1-\frac{\theta^2}{2}<\frac45 $$

すなわち

$$ \theta^2>\frac25 $$

を得る。

次に $(2)$ を $x=\theta$ に適用すると，

$$ \cos\theta=\frac45<1-\frac{\theta^2}{2}+\frac{\theta^4}{24} $$

である。$y=\theta^2$ とおくと，

$$ \frac45<1-\frac{y}{2}+\frac{y^2}{24} $$

より

$$ 24\cdot \frac45<24-12y+y^2 $$

したがって

$$ 5y^2-60y+24>0 $$

となる。この2次方程式の解は

$$ y=\frac{60\pm\sqrt{3600-480}}{10} =\frac{60\pm\sqrt{3120}}{10} =\frac{60\pm 4\sqrt{195}}{10} =\frac{30\pm 2\sqrt{195}}{5} $$

である。よって

$$ 5y^2-60y+24>0 $$

は

$$ y<\frac{30-2\sqrt{195}}{5} \quad \text{または} \quad y>\frac{30+2\sqrt{195}}{5} $$

と同値である。

一方，$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より

$$ 0<y=\theta^2<\frac{\pi^2}{4}<3 $$

である。ところが

$$ \frac{30+2\sqrt{195}}{5}>6 $$

であるから，$y>\dfrac{30+2\sqrt{195}}{5}$ は起こりえない。したがって

$$ y<\frac{30-2\sqrt{195}}{5} $$

すなわち

$$ \theta^2<\frac{30-2\sqrt{195}}{5} $$

が従う。

以上より

$$ \frac25<\theta^2<\frac{30-2\sqrt{195}}{5} $$

が成り立つ。

解説

$(1)$ は $x-\sin x$ の単調性を見る典型問題である。$1-\cos x\geqq 0$ を使って一段ずつ導関数の符号を決めればよい。

$(2)$ は $(1)$ の結果をそのまま $F''(x)$ の正値性に利用するのが自然である。$\cos x$ のテイラー展開を知っていてもよいが，この問題では微分による証明で完結する。

$(3)$ は三角形の情報を $\cos\theta=\dfrac45$ に翻訳し，$(1)$，$(2)$ に代入するだけでよい。上側の評価では $\theta^2$ を $y$ とおいて2次不等式に直すのが要点である。

答え

**(1)**

$$ x>0 \Longrightarrow 1-\frac{x^2}{2}<\cos x $$

**(2)**

$$ x>0 \Longrightarrow \cos x<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24} $$

**(3)**

最小角を $\theta$ ラジアンとすると，

$$ \frac25<\theta^2<\frac{30-2\sqrt{195}}{5} $$

が成り立つ。