解説

方針・初手

両曲線に共通に接する直線を $y=mx+n$ とおく方法でも解けるが、ここではそれぞれの曲線の接線を接点を用いて表す。

放物線 $y=x^2$ の $x=a$ における接線と、双曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ の $x=b$ における接線が一致すると考えれば、傾きと切片を比較して求められる。

解法1

$y=x^2$ の $x=a$ における接線を求める。

微分すると

$$ \frac{dy}{dx}=2x $$

であるから、点 $(a,a^2)$ における接線は

$$ y-a^2=2a(x-a) $$

すなわち

$$ y=2ax-a^2 $$

である。

次に、$y=\dfrac{1}{x}$ の $x=b$ における接線を求める。

微分すると

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^2} $$

であるから、点 $\left(b,\dfrac{1}{b}\right)$ における接線は

$$ y-\frac{1}{b}=-\frac{1}{b^2}(x-b) $$

すなわち

$$ y=-\frac{1}{b^2}x+\frac{2}{b} $$

である。

この2本の接線が同じ直線であるから、傾きと切片がそれぞれ一致する。したがって

$$ 2a=-\frac{1}{b^2}, \qquad -a^2=\frac{2}{b} $$

を満たす。

後式から

$$ b=-\frac{2}{a^2} $$

となる。これを前式に代入すると

$$ 2a=-\frac{1}{\left(-\dfrac{2}{a^2}\right)^2} =-\frac{1}{\dfrac{4}{a^4}} =-\frac{a^4}{4} $$

よって

$$ 8a=-a^4 $$

すなわち

$$ a(a^3+8)=0 $$

を得る。

$a=0$ では $b=-\dfrac{2}{a^2}$ が定まらないので不適である。したがって

$$ a^3=-8 $$

より

$$ a=-2 $$

である。

このとき

$$ b=-\frac{2}{a^2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2} $$

となる。

したがって共通接線は

$$ y=2ax-a^2=2(-2)x-(-2)^2=-4x-4 $$

である。

解説

この問題の要点は、「共通接線」とは接点が同じという意味ではなく、2つの曲線それぞれに対して接している同一の直線である、ということである。

そのため、各曲線の接線を接点で表し、それらが一致する条件として傾きと切片を比較するのが自然である。

特に $y=\dfrac{1}{x}$ の接線の傾きは常に負であるから、$y=x^2$ 側の接点も $a<0$ 側にあるはずだと見ておくと、解の見通しが立てやすい。

答え

求める直線は

$$ y=-4x-4 $$

である。