解説

方針・初手

共有点 $(x,y)$ は $y=ae^{-x}$ を満たすから、$x$ だけの式

$$ x^2+a^2e^{-2x}=1 $$

の実数解の個数を調べればよい。

そこで $b=a^2\ (\ge 0)$ とおき、

$$ F(x)=x^2+be^{-2x}-1 $$

とおく。$F(x)=0$ がただ1つの実数解をもつ条件を求める。

解法1

まず $b=0$、すなわち $a=0$ のときは

$$ F(x)=x^2-1 $$

となり、$x=\pm 1$ をもつので共有点は2つである。したがって求める場合は $b>0$ である。

$F$ を微分すると

$$ F'(x)=2x-2be^{-2x}, \qquad F''(x)=2+4be^{-2x}>0 $$

である。

よって $F(x)$ は全実数で下に凸であり、極小値をとる点はただ1つである。

また $b>0$ のとき、

$$ x\to \infty \text{ で }F(x)\to \infty, \qquad x\to -\infty \text{ で }F(x)\to \infty $$

であるから、$F(x)=0$ の実数解の個数は

• 極小値が正なら $0$ 個
• 極小値が $0$ なら $1$ 個
• 極小値が負なら $2$ 個

である。

したがって、共有点が1つしかないための必要十分条件は、$F$ の極小値が $0$ になることである。

極小値を与える点を $x=t$ とすると、$F'(t)=0$ より

$$ t=be^{-2t} $$

である。

さらに極小値が $0$ だから $F(t)=0$、すなわち

$$ t^2+be^{-2t}-1=0 $$

であり、先ほどの $be^{-2t}=t$ を代入すると

$$ t^2+t-1=0 $$

を得る。

この正の解は

$$ t=\frac{\sqrt5-1}{2} $$

である。

したがって

$$ b=te^{2t} =\frac{\sqrt5-1}{2}e^{\sqrt5-1} $$

となる。$b=a^2$ だから、

$$ a^2=\frac{\sqrt5-1}{2}e^{\sqrt5-1} $$

である。

解法2

共有点では

$$ y=ae^{-x},\qquad x^2+y^2=1 $$

が同時に成り立つから、

$$ x^2+a^2e^{-2x}=1 $$

すなわち

$$ a^2=(1-x^2)e^{2x} $$

である。ただし円周上の点なので $-1\le x\le 1$ である。

そこで

$$ \phi(x)=(1-x^2)e^{2x}\qquad (-1\le x\le 1) $$

とおくと、共有点の個数は方程式

$$ \phi(x)=a^2 $$

の解の個数に一致する。

ここで

$$ \phi'(x)=2e^{2x}(1-x-x^2) $$

であるから、極値は

$$ 1-x-x^2=0 $$

で決まり、その解は

$$ x=\frac{\sqrt5-1}{2},\quad x=-\frac{\sqrt5+1}{2} $$

である。このうち区間 $[-1,1]$ に入るのは

$$ x=\frac{\sqrt5-1}{2} $$

のみである。

また

$$ \phi(-1)=\phi(1)=0 $$

なので、$\phi$ は区間 $[-1,1]$ でただ1つの最大値をもつ。したがって $\phi(x)=a^2$ がただ1つの解をもつのは、$a^2$ がこの最大値に等しいときである。

ゆえに

$$ a^2=\phi\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right) =\left(1-\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)^2\right)e^{\sqrt5-1} $$

となる。

ここで $t=\dfrac{\sqrt5-1}{2}$ とおくと、$t^2+t-1=0$ より $1-t^2=t$ だから、

$$ a^2=te^{2t} =\frac{\sqrt5-1}{2}e^{\sqrt5-1} $$

となる。

解説

この問題で重要なのは、「共有点が1つ」をそのまま「接する」と決めつけないことである。一般には、共有点が1つでも接しているとは限らない。

安全なのは、共有点の条件を1変数方程式に落として、その実数解の個数を厳密に数える方針である。解法1では下に凸な関数の極小値、解法2では区間上の最大値に帰着している。どちらも本質は同じである。

答え

$$ a^2=\frac{\sqrt5-1}{2}e^{\sqrt5-1} $$