解説

方針・初手

$\log t$ の導関数は $\dfrac{1}{t}$ であり、$t>0$ で単調減少する。そこで、$\log(1+x)-\log x$ を区間 $[x,,x+1]$ における増加量とみなし、平均値の定理を用いるのが自然である。

なお、$\log x,\ \log(1+x)$ が定義されるためには $x>0$ である。

解法1

関数

$$ f(t)=\log t $$

を考える。$x>0$ のとき、$f$ は区間 $[x,,x+1]$ で連続、開区間 $(x,,x+1)$ で微分可能であるから、平均値の定理より、ある $\xi\in(x,,x+1)$ が存在して

$$ f(x+1)-f(x)=f'(\xi){(x+1)-x} $$

となる。

$f'(t)=\dfrac{1}{t}$ であるから、

$$ \log(1+x)-\log x=\frac{1}{\xi} $$

を得る。

ここで $\xi\in(x,,x+1)$ であるから、

$$ x<\xi<x+1 $$

である。正の範囲では逆数をとると不等号が逆向きになるので、

$$ \frac{1}{x+1}<\frac{1}{\xi}<\frac{1}{x} $$

となる。したがって、

$$ \frac{1}{1+x}<\log(1+x)-\log x<\frac{1}{x} $$

が成り立つ。

解法2

対数の差を積分で表すと、

$$ \log(1+x)-\log x=\int_x^{x+1}\frac{1}{t},dt $$

である。

関数 $\dfrac{1}{t}$ は $t>0$ で単調減少するから、区間 $[x,,x+1]$ では

$$ \frac{1}{x+1}<\frac{1}{t}<\frac{1}{x} \qquad (x<t<x+1) $$

が成り立つ。これを $x$ から $x+1$ まで積分すると、

$$ \int_x^{x+1}\frac{1}{x+1},dt < \int_x^{x+1}\frac{1}{t},dt < \int_x^{x+1}\frac{1}{x},dt $$

となる。各辺を計算して

$$ \frac{1}{x+1} < \log(1+x)-\log x < \frac{1}{x} $$

を得る。

解説

この問題の本質は、$\log t$ の増加量を導関数 $\dfrac{1}{t}$ で評価することである。平均値の定理を使えば、差 $\log(1+x)-\log x$ がちょうどある点での $\dfrac{1}{t}$ の値になるので、両端 $x,\ x+1$ で挟めばよい。

積分表示を知っていれば、$\dfrac{1}{t}$ の単調減少性から直接評価することもできる。どちらも「$\dfrac{1}{t}$ が減少関数である」という点が核心である。

答え

$x>0$ に対して

$$ \frac{1}{1+x}<\log(1+x)-\log x<\frac{1}{x} $$

が成り立つ。