解説

方針・初手

指数関数について成り立つ基本不等式

$$ e^t \geqq 1+t \qquad (t\in \mathbb{R}) $$

をそれぞれ $t=bx,,-ax$ に適用する。すると $x$ を含む一次の項がちょうど打ち消し合うので，求める不等式が直接得られる。

解法1

任意の実数 $t$ に対して

$$ e^t \geqq 1+t $$

が成り立つ。

これを $t=bx$ に適用すると，

$$ e^{bx} \geqq 1+bx $$

である。$a\geqq 0$ であるから，両辺に $a$ を掛けて

$$ ae^{bx} \geqq a+abx $$

を得る。

同様に，$t=-ax$ に対して

$$ e^{-ax} \geqq 1-ax $$

である。$b\geqq 0$ であるから，両辺に $b$ を掛けて

$$ be^{-ax} \geqq b-abx $$

を得る。

以上の 2 式を辺々加えると，

$$ ae^{bx}+be^{-ax} \geqq (a+abx)+(b-abx)=a+b $$

となる。

よって，全ての実数 $x$ について

$$ ae^{bx}+be^{-ax}\geqq a+b $$

が成り立つ。

解法2

関数

$$ f(x)=ae^{bx}+be^{-ax} $$

を考える。

まず微分すると，

$$ f'(x)=ab\left(e^{bx}-e^{-ax}\right) $$

である。したがって $f'(x)=0$ となるのは

$$ e^{bx}=e^{-ax} $$

すなわち

$$ bx=-ax $$

より

$$ (a+b)x=0 $$

を満たすときである。

**(i)**

$a+b>0$ のとき

$a,b$ は負でない定数であり，少なくとも一方は正であるから $a+b>0$ である。このとき極値をとりうるのは $x=0$ のみである。

さらに 2 階微分すると，

$$ f''(x)=ab\left(be^{bx}+ae^{-ax}\right)\geqq 0 $$

であるから，$f(x)$ は下に凸であり，$x=0$ で最小値をとる。

よって

$$ f(x)\geqq f(0)=a+b $$

となる。

**(ii)**

$a=b=0$ のとき

$$ ae^{bx}+be^{-ax}=0=a+b $$

であり，やはり不等式は成り立つ。

以上より，全ての実数 $x$ について

$$ ae^{bx}+be^{-ax}\geqq a+b $$

が成り立つ。

解説

この問題の本質は，指数関数の基本不等式 $e^t\geqq 1+t$ を見抜けるかどうかである。$bx$ と $-ax$ を代入すると，一次の項が $abx$ と $-abx$ になって打ち消し合うため，一瞬で示せる。

微分による方法でも示せるが，解法1のほうが短く，本質も明確である。入試ではまず $e^t\geqq 1+t$ の利用を考えるのがよい。

答え

全ての実数 $x$ について

$$ ae^{bx}+be^{-ax}\geqq a+b $$

が成り立つ。特に，$e^t\geqq 1+t$ を $t=bx,,-ax$ に適用すれば，

$$ ae^{bx}\geqq a+abx,\qquad be^{-ax}\geqq b-abx $$

であるから，両式を加えて

$$ ae^{bx}+be^{-ax}\geqq a+b $$

を得る。