解説

方針・初手

（1） は、$f(x)=e^x-\dfrac{x^n}{n!}$ とおいて導関数を順に調べると、$f(x)>0$ を示せる。

（2） は、（1） の不等式で $n=3$ を用いれば、$x^2e^{-x}$ を $\dfrac{1}{x}$ の形で上からおさえられる。

（3） は、まず $y=xe^{-x}$ の接線・法線の方程式を求め、それぞれの $x$ 切片を計算する。最後に （2） を使って指数関数の項の極限を処理する。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=e^x-\frac{x^n}{n!} $$

とおく。

このとき、$k=0,1,\dots,n-1$ に対して

$$ f^{(k)}(x)=e^x-\frac{x^{n-k}}{(n-k)!} $$

であり、さらに

$$ f^{(n)}(x)=e^x-1 $$

となる。

$x\geqq 0$ では $e^x\geqq 1$ であるから、

$$ f^{(n)}(x)=e^x-1\geqq 0 $$

である。したがって $f^{(n-1)}(x)$ は単調増加である。

ここで

$$ f^{(n-1)}(0)=e^0-0=1>0 $$

より、$x\geqq 0$ で

$$ f^{(n-1)}(x)>0 $$

となる。ゆえに $f^{(n-2)}(x)$ も単調増加であり、

$$ f^{(n-2)}(0)=1>0 $$

だから、$x\geqq 0$ で

$$ f^{(n-2)}(x)>0 $$

を得る。

これを同様に繰り返すと、最終的に

$$ f(x)>0 \qquad (x\geqq 0) $$

となる。すなわち、

$$ e^x>\frac{x^n}{n!} \qquad (x\geqq 0) $$

が成り立つ。

**(2)**

（1） の結果を $n=3$ に対して用いると、$x\geqq 0$ で

$$ e^x>\frac{x^3}{3!}=\frac{x^3}{6} $$

である。よって $x>0$ で

$$ x^2e^{-x}=\frac{x^2}{e^x}<\frac{x^2}{x^3/6}=\frac{6}{x} $$

となる。

ここで $x^2e^{-x}>0$ でもあるから、

$$ 0<x^2e^{-x}<\frac{6}{x} $$

を得る。$x\to\infty$ のとき $\dfrac{6}{x}\to 0$ であるので、はさみうちの原理より

$$ \lim_{x\to\infty}x^2e^{-x}=0 $$

である。

**(3)**

曲線

$$ y=xe^{-x} $$

上の点

$$ A=(a,ae^{-a}) $$

を考える。ただし $a>1$ である。

まず導関数は

$$ y'=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x) $$

だから、点 $A$ における接線の傾きは

$$ e^{-a}(1-a) $$

である。

したがって接線の方程式は

$$ y-ae^{-a}=e^{-a}(1-a)(x-a) $$

となる。これが $x$ 軸と交わる点を $P$ とすると、$y=0$ を代入して

$$ -ae^{-a}=e^{-a}(1-a)(x-a) $$

すなわち

$$ -a=(1-a)(x-a) $$

であるから、

$$ a=(a-1)(x-a) $$

となる。よって

$$ x-a=\frac{a}{a-1} $$

であり、

$$ x_P=a+\frac{a}{a-1}=\frac{a^2}{a-1} $$

を得る。したがって

$$ P\left(\frac{a^2}{a-1},,0\right) $$

である。

次に法線の傾きは、接線の傾きの逆数に $-1$ をかけて

$$ -\frac{1}{e^{-a}(1-a)}=\frac{e^a}{a-1} $$

となる。したがって法線の方程式は

$$ y-ae^{-a}=\frac{e^a}{a-1}(x-a) $$

である。これが $x$ 軸と交わる点を $Q$ とすると、$y=0$ を代入して

$$ -ae^{-a}=\frac{e^a}{a-1}(x-a) $$

より

$$ x-a=-a(a-1)e^{-2a} $$

となる。したがって

$$ x_Q=a-a(a-1)e^{-2a} $$

であり、

$$ Q\left(a-a(a-1)e^{-2a},,0\right) $$

である。

ゆえに、線分 $PQ$ の長さ $l(a)$ は

$$ l(a)=x_P-x_Q $$

すなわち

$$ l(a)=\frac{a^2}{a-1}-\left(a-a(a-1)e^{-2a}\right) $$

である。これを整理すると

$$ l(a)=\left(\frac{a^2}{a-1}-a\right)+a(a-1)e^{-2a} =\frac{a}{a-1}+a(a-1)e^{-2a} $$

となる。

ここで

$$ \frac{a}{a-1}\to 1 \qquad (a\to\infty) $$

である。また

$$ 0\leqq a(a-1)e^{-2a}\leqq a^2e^{-2a} $$

であり、（2） で $x=2a$ とおけば

$$ a^2e^{-2a}=\frac{1}{4}(2a)^2e^{-2a}\to 0 $$

だから

$$ a(a-1)e^{-2a}\to 0 $$

である。

したがって

$$ \lim_{a\to\infty}l(a)=1 $$

となる。

解説

この問題の中心は、「指数関数は多項式より速く増加する」という事実である。

（1） ではそれを厳密に示している。$e^x$ と $\dfrac{x^n}{n!}$ の差をとり、導関数を順に追うと、最後は $e^x-1\geqq 0$ に帰着する。この流れは高校範囲で十分処理できる。

（2） では、指数関数の増加の速さを極限計算に利用している。$x^2e^{-x}$ を直接扱うより、（1） から $e^x$ を下から評価して分母を大きくするのが基本である。

（3） では計算自体は接線・法線の方程式を立てる標準問題であるが、最後に現れる $a(a-1)e^{-2a}$ の極限処理に （2） がそのまま使えるようになっている。設問どうしがつながっていることに気づくのが重要である。

答え

**(1)**

任意の自然数 $n$ に対し、$x\geqq 0$ ならば

$$ e^x>\frac{x^n}{n!} $$

が成り立つ。

**(2)**

$$ \lim_{x\to\infty}x^2e^{-x}=0 $$

**(3)**

$$ \lim_{a\to\infty}l(a)=1 $$