解説

方針・初手

曲線が $x$ と $y$ の関係式で与えられているので、$y$ を $x$ の関数とみなして暗黙微分を行い、接線の傾きを求めるのが自然である。そのうえで、接点 $(0,1)$ を通る直線の式を立てればよい。

解法1

まず、点 $(0,1)$ が曲線上にあることを確かめる。

$$ 0^2+2\cdot 0 \cdot 1-2\cdot 0+1-1=0 $$

したがって、確かに $(0,1)$ は曲線上の点である。

次に、

$$ x^2+2xy-2x+y-1=0 $$

を $x$ で微分する。$y$ は $x$ の関数とみなすと、

$$ 2x+2\left(x\frac{dy}{dx}+y\right)-2+\frac{dy}{dx}=0 $$

となる。これを整理すると、

$$ (2x+1)\frac{dy}{dx}+2x+2y-2=0 $$

ゆえに、

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{2-2x-2y}{2x+1} $$

である。

ここで接点 $(0,1)$ を代入すると、

$$ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(0,1)} =\frac{2-2\cdot 0-2\cdot 1}{2\cdot 0+1} =0 $$

したがって、接線の傾きは $0$ である。

よって、点 $(0,1)$ を通る接線は

$$ y-1=0(x-0) $$

すなわち、

$$ y=1 $$

である。

解法2

もとの式を $y$ について解くと、

$$ 2xy+y=-x^2+2x+1 $$

より、

$$ y=\frac{-x^2+2x+1}{2x+1} \quad (2x+1\neq 0) $$

となる。

この式を微分すると、

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{(-2x+2)(2x+1)-2(-x^2+2x+1)}{(2x+1)^2} \end{aligned} $$

である。接点では $x=0$ なので、

$$ \begin{aligned} \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} &= \frac{2\cdot 1-2\cdot 1}{1^2} =0 \end{aligned} $$

したがって接線の傾きは $0$ であり、接点 $(0,1)$ を通るから、接線は

$$ y=1 $$

である。

解説

この問題では、曲線が $y=f(x)$ の形で直接与えられていないため、暗黙微分を使うのが基本方針である。$2xy$ の微分で積の微分を正しく用いることが重要である。

また、$y$ について解いてから微分してもよいが、式変形が増えるので、通常は暗黙微分のほうが速い。

答え

接線の方程式は

$$ y=1 $$

である。