解説

方針・初手

$y=x^{\sin x}$ は指数にも $x$ が含まれているので、そのまま微分するのではなく、対数をとって微分するのが基本方針である。

まず $x=\pi$ における点の座標と、その点での接線の傾きを求め、最後に接線の式から $y$ 切片を求める。

解法1

曲線

$$ y=x^{\sin x} $$

を考える。底が $x$ であるから、$x>0$ の範囲で考える。

両辺の対数をとると、

$$ \ln y=\sin x \cdot \ln x $$

となる。これを両辺微分すると、

$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\cos x \cdot \ln x+\sin x \cdot \frac{1}{x} $$

したがって、

$$ \frac{dy}{dx}=x^{\sin x}\left(\cos x \cdot \ln x+\frac{\sin x}{x}\right) $$

である。

次に、$x=\pi$ のときの値を求める。

まず点の $y$ 座標は

$$ y=\pi^{\sin \pi}=\pi^0=1 $$

より、接点は $(\pi,1)$ である。

また、傾きは

$$ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=\pi} =\pi^{\sin \pi}\left(\cos \pi \cdot \ln \pi+\frac{\sin \pi}{\pi}\right) =1\cdot\left((-1)\ln \pi+0\right) =-\ln \pi $$

である。

よって、接線の式は

$$ y-1=-\ln \pi (x-\pi) $$

となる。

この接線の $y$ 切片は、$x=0$ を代入して

$$ y-1=-\ln \pi (0-\pi)=\pi \ln \pi $$

より

$$ y=1+\pi \ln \pi $$

である。

解説

$x^{\sin x}$ のように、底にも指数にも $x$ が入っている関数は対数微分法が典型である。

この問題では、微分公式を作ったあとに $x=\pi$ を代入すればよい。$\sin \pi=0,\ \cos \pi=-1$ がすぐ使えるので、計算自体は重くない。接線の式を出したあと、$y$ 切片は $x=0$ を代入して求める。

答え

接線の $y$ 切片は

$$ 1+\pi \ln \pi $$

である。