基礎問題集
数学3 微分法「接線・不等式」の問題18 解説
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解説
方針・初手
接線の方程式を求めるには、まず曲線の微分係数を求めて、その点での傾きを出す。 法線は接線に直交するので、その傾きは接線の傾きの負の逆数を用いればよい。
解法1
曲線
$$ y=e^{-x}-1 $$
上で、$x=-1$ のときの点の座標を求める。
$$ y=e^{-(-1)}-1=e-1 $$
したがって、求める点は
$$ (-1,\ e-1) $$
である。
次に、接線の傾きを求めるために微分する。
$$ y'=-e^{-x} $$
よって、$x=-1$ における接線の傾きは
$$ y'(-1)=-e $$
である。
したがって、接線の方程式は点 $(-1,\ e-1)$ を通り、傾きが $-e$ であるから、
$$ y-(e-1)=-e(x+1) $$
これを整理すると、
$$ y=-ex-1 $$
となる。
次に、法線の傾きは接線の傾き $-e$ の負の逆数であるから、
$$ \frac{1}{e} $$
である。
したがって、法線の方程式は
$$ y-(e-1)=\frac{1}{e}(x+1) $$
これを整理すると、
$$ y=\frac{1}{e}x+e+\frac{1}{e}-1 $$
となる。
解説
接線の問題では、まず「その点の座標」と「その点での微分係数」を求めるのが基本である。 また、法線は接線と直交するので、傾きは単に逆数ではなく「負の逆数」であることに注意する必要がある。
答え
$$ \text{[ア] } -ex-1 $$
$$ \text{[イ] } \frac{1}{e}x+e+\frac{1}{e}-1 $$