解説

方針・初手

平均値の定理で与えられた式

$$ f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h) $$

に、$f(x)=x^3$ と $f'(x)=3x^2$ をそのまま代入する。すると $\theta$ を含む方程式が得られるので、それを $a,\ h$ で解けばよい。極限は、その求めた式を整理して調べる。

解法1

$f(x)=x^3$ であるから、平均値の定理の式は

$$ (a+h)^3=a^3+h\cdot 3(a+\theta h)^2 $$

となる。

左辺を展開すると

$$ a^3+3a^2h+3ah^2+h^3=a^3+3h(a+\theta h)^2 $$

であるから、$h>0$ を用いて両辺を $h$ で割ると

$$ 3a^2+3ah+h^2=3(a+\theta h)^2 $$

したがって

$$ (a+\theta h)^2=a^2+ah+\frac{h^2}{3} $$

を得る。

ここで $a\geqq 0,\ h>0,\ 0<\theta<1$ より

$$ a+\theta h>0 $$

である。よって平方根は正のほうをとって

$$ a+\theta h=\sqrt{a^2+ah+\frac{h^2}{3}} $$

となる。したがって

$$ \theta=\frac{\sqrt{a^2+ah+\frac{h^2}{3}}-a}{h} $$

である。これが （1） の答えである。

次に （2） を求めるため、これを有理化すると

$$ \theta =\frac{\sqrt{a^2+ah+\frac{h^2}{3}}-a}{h} \cdot \frac{\sqrt{a^2+ah+\frac{h^2}{3}}+a}{\sqrt{a^2+ah+\frac{h^2}{3}}+a} =\frac{a+\frac{h}{3}}{\sqrt{a^2+ah+\frac{h^2}{3}}+a} $$

となる。

ここで場合分けする。

**(i)**

$a>0$ のとき

$$ \begin{aligned} \lim_{h\to 0}\theta &= \lim_{h\to 0} \frac{a+\frac{h}{3}}{\sqrt{a^2+ah+\frac{h^2}{3}}+a} &= \frac{a}{a+a} \\ \frac{1}{2} \end{aligned} $$

である。

**(ii)**

$a=0$ のとき

$$ \theta=\frac{\sqrt{\frac{h^2}{3}}}{h} =\frac{h/\sqrt{3}}{h} =\frac{1}{\sqrt{3}} \qquad (h>0) $$

であるから、

$$ \lim_{h\to 0}\theta=\frac{1}{\sqrt{3}} $$

となる。

解説

この問題の要点は、平均値の定理の式に具体的な関数を代入したあと、$\theta$ を直接求めることである。

途中で

$$ (a+\theta h)^2=a^2+ah+\frac{h^2}{3} $$

が得られるが、ここで平方根の符号を勝手に選んではならない。条件 $a\geqq 0,\ h>0,\ 0<\theta<1$ から $a+\theta h>0$ が従うので、正の平方根をとることができる。

また、極限では $a=0$ の場合に分母・分子の挙動が $a>0$ の場合と異なるため、場合分けが必要である。ここをまとめて $\frac12$ としてしまうと誤りになる。

答え

**(1)**

$$ \theta=\frac{\sqrt{a^2+ah+\frac{h^2}{3}}-a}{h} $$

**(2)**

$$ \lim_{h\to 0}\theta= \begin{cases} \dfrac{1}{2} & (a>0)\\[6pt] \dfrac{1}{\sqrt{3}} & (a=0) \end{cases} $$