解説

方針・初手

左辺を右辺へ移して

$$ F(x)=\left(\log\frac{1}{1-x}\right)^2-\log\frac{1}{1-x^2} $$

とおく。これが $0<x<1$ で正であることを示せばよい。

そのために $F(x)$ の増減を調べる。導関数を計算すると、結局 $\log\frac{1}{1-x}>\dfrac{x}{1+x}$ を示せば足りる形になる。

解法1

$$ F(x)=\left(\log\frac{1}{1-x}\right)^2-\log\frac{1}{1-x^2} \qquad (0\le x<1) $$

とおく。

これを微分すると、

$$ \begin{aligned} F'(x) &=2\log\frac{1}{1-x}\cdot \frac{1}{1-x}-\frac{2x}{1-x^2} \\ &=\frac{2}{1-x}\left(\log\frac{1}{1-x}-\frac{x}{1+x}\right) \end{aligned} $$

となる。

したがって、$F'(x)>0$ を示すには

$$ \log\frac{1}{1-x}>\frac{x}{1+x} $$

を示せばよい。

そこで

$$ G(x)=\log\frac{1}{1-x}-x $$

とおくと、

$$ G'(x)=\frac{1}{1-x}-1=\frac{x}{1-x}>0 \qquad (0<x<1) $$

であり、また

$$ G(0)=0 $$

であるから、$0<x<1$ において

$$ G(x)>0 $$

すなわち

$$ \log\frac{1}{1-x}>x $$

が成り立つ。

ここで $0<x<1$ より明らかに

$$ x>\frac{x}{1+x} $$

であるから、

$$ \log\frac{1}{1-x}>x>\frac{x}{1+x} $$

となり、したがって $F'(x)>0$ である。

よって $F(x)$ は $[0,1)$ で単調増加し、しかも

$$ F(0)=0 $$

であるから、$0<x<1$ に対して

$$ F(x)>0 $$

となる。すなわち

$$ \log\frac{1}{1-x^2}<\left(\log\frac{1}{1-x}\right)^2 $$

が成り立つ。

解説

この問題は、与えられた不等式をそのまま変形して比較するよりも、差をとって関数として扱うのが自然である。

実際、差を $F(x)$ とおくと、導関数は

$$ \log\frac{1}{1-x}-\frac{x}{1+x} $$

の符号判定に帰着する。ここでさらに

$$ \log\frac{1}{1-x}>x $$

というより強い不等式を示せば十分であり、これは $G(x)=\log\dfrac{1}{1-x}-x$ を微分すればすぐに分かる。

途中で「より強い不等式に落とす」というのがこの問題の要点である。

答え

$$ 0<x<1 \quad\Longrightarrow\quad \log\frac{1}{1-x^2}<\left(\log\frac{1}{1-x}\right)^2 $$

である。