解説

方針・初手

直線 $3x+y=0$ の傾きは $-3$ である。

したがって、曲線 $y=3\sin 2x+\cos 3x$ の接線がこれに平行であるための条件は、接点における微分係数が $-3$ になることである。まず $y'=-3$ を満たす $x$ を $0<x<\pi$ で求め、その各点を通る傾き $-3$ の直線を立てればよい。

解法1

曲線

$$ y=3\sin 2x+\cos 3x $$

の導関数は

$$ y'=6\cos 2x-3\sin 3x $$

である。

接線の傾きが $-3$ であるから、

$$ 6\cos 2x-3\sin 3x=-3 $$

すなわち

$$ 2\cos 2x-\sin 3x=-1 $$

を満たせばよい。

ここで $s=\sin x$ とおくと、

$$ \cos 2x=1-2s^2,\qquad \sin 3x=3s-4s^3 $$

であるから、

$$ 2(1-2s^2)-(3s-4s^3)=-1 $$

となる。整理すると、

$$ 4s^3-4s^2-3s+3=0 $$

$$ (s-1)(4s^2-3)=0 $$

を得る。

$0<x<\pi$ では $0<\sin x\leqq 1$ であるから、

$$ \sin x=1,\qquad \sin x=\frac{\sqrt3}{2} $$

より、

$$ x=\frac{\pi}{2},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{2\pi}{3} $$

を得る。

以下、それぞれの点で接線を求める。

**(i)**

$x=\dfrac{\pi}{3}$ のとき

$$ y=3\sin \frac{2\pi}{3}+\cos \pi =3\cdot \frac{\sqrt3}{2}-1 =\frac{3\sqrt3}{2}-1 $$

したがって接点は $\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{3\sqrt3}{2}-1\right)$ であり、接線は

$$ y-\left(\frac{3\sqrt3}{2}-1\right)=-3\left(x-\frac{\pi}{3}\right) $$

すなわち

$$ 3x+y=\pi+\frac{3\sqrt3}{2}-1 $$

である。

**(ii)**

$x=\dfrac{\pi}{2}$ のとき

$$ y=3\sin \pi+\cos \frac{3\pi}{2}=0 $$

したがって接点は $\left(\dfrac{\pi}{2},0\right)$ であり、接線は

$$ y=-3\left(x-\frac{\pi}{2}\right) $$

すなわち

$$ 3x+y=\frac{3\pi}{2} $$

である。

**(iii)**

$x=\dfrac{2\pi}{3}$ のとき

$$ y=3\sin \frac{4\pi}{3}+\cos 2\pi =3\cdot \left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+1 =1-\frac{3\sqrt3}{2} $$

したがって接点は $\left(\dfrac{2\pi}{3},1-\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)$ であり、接線は

$$ y-\left(1-\frac{3\sqrt3}{2}\right)=-3\left(x-\frac{2\pi}{3}\right) $$

すなわち

$$ 3x+y=2\pi+1-\frac{3\sqrt3}{2} $$

である。

解説

平行条件は「傾きが等しい」と読み替えるのが基本である。この問題では、まず微分して $y'=-3$ を解くことが核心である。

その後は三角関数の合成ではなく、$\cos 2x$ と $\sin 3x$ を $\sin x$ で表して多項式に落とすと処理しやすい。因数分解すると $(\sin x-1)(4\sin^2 x-3)=0$ となり、$0<x<\pi$ という範囲条件から対応する $x$ を漏れなく拾える。

答え

求める接線は

$$ \begin{aligned} 3x+y&=\pi+\frac{3\sqrt3}{2}-1,\\ 3x+y&=\frac{3\pi}{2},\\ 3x+y&=2\pi+1-\frac{3\sqrt3}{2} \end{aligned} $$

である。