解説

方針・初手

不等式

$$ kx^2 \ge \log x \qquad (x>0) $$

がすべての正の数 $x$ で成り立つためには、

$$ k \ge \frac{\log x}{x^2} $$

がすべての $x>0$ で成り立てばよい。

したがって、関数

$$ f(x)=\frac{\log x}{x^2} \qquad (x>0) $$

の最大値を求めれば、その値が求める最小の $k$ である。

解法1

$$ f(x)=x^{-2}\log x $$

とみて微分すると、

$$ f'(x)=(-2x^{-3})\log x+x^{-2}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1-2\log x}{x^3} $$

となる。

$x>0$ で $x^3>0$ だから、$f'(x)$ の符号は $1-2\log x$ の符号で決まる。したがって

• $1-2\log x>0 \iff \log x<\dfrac12 \iff x<\sqrt{e}$ のとき $f'(x)>0$
• $1-2\log x<0 \iff \log x>\dfrac12 \iff x>\sqrt{e}$ のとき $f'(x)<0$

である。

よって $f(x)$ は $x=\sqrt{e}$ で最大となる。

その最大値は

$$ f(\sqrt{e}) =\frac{\log \sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} =\frac{\frac12}{e} =\frac{1}{2e} $$

である。

したがって、すべての $x>0$ に対して

$$ kx^2\ge \log x $$

が成り立つための最小の $k$ は

$$ \frac{1}{2e} $$

である。

解説

この問題は、定数 $k$ を直接求めようとするよりも、

$$ k \ge \frac{\log x}{x^2} $$

と変形して右辺の最大値を求める問題に直すのが基本方針である。

「すべての $x>0$ で成り立つ最小の定数」を求める問題では、関数の最大値・最小値に帰着させるのが典型である。

答え

$$ k_{\min}=\frac{1}{2e} $$