解説

方針・初手

直線 $y=px+q$ と $y=\log x$ の共有点は、方程式

$$ \log x=px+q \qquad (x>0) $$

の実数解に対応する。したがって、

$$ f(x)=\log x-px-q \qquad (x>0) $$

とおき、$f(x)=0$ が解をもたない条件を調べればよい。

解法1

$f(x)=\log x-px-q$ とおくと、

$$ f'(x)=\frac{1}{x}-p $$

である。

また、

$$ \lim_{x\to 0+}f(x)=-\infty $$

であるから、あとは $x\to\infty$ のときの様子と極大値を調べればよい。

**(i)**

$p<0$ のとき

このとき $-px>0$ であり、

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty $$

となる。 一方で $x\to 0+$ では $f(x)\to -\infty$ であるから、連続性より $f(x)=0$ を満たす $x>0$ が少なくとも 1 つ存在する。

したがって、$p<0$ では共有点をもたないことはない。

**(ii)**

$p=0$ のとき

このとき方程式は

$$ \log x=q $$

となるので、

$$ x=e^q $$

が解である。したがって、この場合も必ず共有点をもつ。

**(iii)**

$p>0$ のとき

$f'(x)=0$ より極値を与える点は

$$ x=\frac{1}{p} $$

である。

さらに、

$$ f'(x)>0 \quad \left(0<x<\frac{1}{p}\right),\qquad f'(x)<0 \quad \left(x>\frac{1}{p}\right) $$

であるから、$x=\dfrac{1}{p}$ で最大値をとる。

その最大値は

$$ f\left(\frac{1}{p}\right) =\log \frac{1}{p}-p\cdot \frac{1}{p}-q =-\log p-1-q $$

である。

また $p>0$ のときは

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty $$

であるから、$f(x)$ は両端で $-\infty$ となり、途中でただ 1 回最大値をとる。

よって $f(x)=0$ が解をもたないための必要十分条件は、この最大値が負であること、すなわち

$$ -\log p-1-q<0 $$

である。これは

$$ q>-\log p-1 $$

と同値である。

以上より、求める条件は

$$ p>0,\qquad q>-\log p-1 $$

である。

解説

$y=\log x$ は上に凸ではなく下に凸な関数ではなく、正確には $x>0$ で上に凹な関数である。したがって、直線との共有点の有無は、差 $f(x)=\log x-px-q$ の最大値を見るのが最も自然である。

場合分けで重要なのは $p$ の符号である。$p\le 0$ では、$x\to 0+$ で $f(x)\to-\infty$、$x\to\infty$ で $f(x)$ が 0 以上あるいは $\infty$ に向かうため、必ずどこかで $f(x)=0$ となる。したがって共有点をなくせるのは $p>0$ の場合に限られる。

そのうえで、$p>0$ では $f(x)$ の最大値が負であればよい、という形に落ちる。

答え

直線 $y=px+q$ が $y=\log x$ と共有点をもたないための必要十分条件は

$$ p>0,\qquad q>-\log p-1 $$

である。