解説

方針・初手

共通接線は、直線 $y=mx+n$ と各曲線を連立したときに、$x$ の2次方程式が重解をもつことを使うのが基本である。

まず、2つの放物線に共通に接する直線を求める。そのうえで、対数関数 $y=5\log(x-a)-2$ の接線の傾きは常に正であることに注意して、候補を1本に絞って $a$ を決める。

解法1

2つの放物線に共通に接する直線を

$$ y=mx+n $$

とおく。

放物線 $y=9x^2+6x+3$ に接する条件

直線との交点は

$$ 9x^2+6x+3=mx+n $$

すなわち

$$ 9x^2+(6-m)x+(3-n)=0 $$

で与えられる。接するためにはこれが重解をもてばよいから、判別式を $0$ として

$$ (6-m)^2-4\cdot 9(3-n)=0 $$

より

$$ n=-\frac{m^2}{36}+\frac{m}{3}+2 $$

を得る。

放物線 $y=-3x^2+x+\dfrac{5}{3}$ に接する条件

同様に

$$ -3x^2+x+\frac{5}{3}=mx+n $$

すなわち

$$ -3x^2+(1-m)x+\left(\frac{5}{3}-n\right)=0 $$

が重解をもつので

$$ (1-m)^2-4(-3)\left(\frac{5}{3}-n\right)=0 $$

となる。これを整理すると

$$ n=\frac{m^2}{12}-\frac{m}{6}+\frac{7}{4} $$

である。

2つの条件を連立する

したがって

$$ -\frac{m^2}{36}+\frac{m}{3}+2=\frac{m^2}{12}-\frac{m}{6}+\frac{7}{4} $$

であり、整理すると

$$ 4m^2-18m-9=0 $$

を得る。よって

$$ m=\frac{9\pm 3\sqrt{13}}{4} $$

である。

これを

$$ n=-\frac{m^2}{36}+\frac{m}{3}+2 $$

に代入すると

$$ n=\frac{77\pm 5\sqrt{13}}{32} $$

となる。

以上より、2つの放物線に共通に接する直線は

$$ y=\frac{9+3\sqrt{13}}{4}x+\frac{77+5\sqrt{13}}{32}, \qquad y=\frac{9-3\sqrt{13}}{4}x+\frac{77-5\sqrt{13}}{32} $$

の2本である。

3つ目の曲線にも接する条件

対数関数

$$ y=5\log(x-a)-2 $$

の接線の傾きは

$$ \frac{d}{dx}{5\log(x-a)-2}=\frac{5}{x-a} $$

より常に正である。したがって、上の2本のうち傾きが正のものだけが候補である。

よって候補は

$$ y=\frac{9+3\sqrt{13}}{4}x+\frac{77+5\sqrt{13}}{32} $$

のみである。

この直線が対数関数に接するとする。接点を $x=a+t$（ただし $t>0$）とおくと、接線の傾きは

$$ \frac{5}{t} $$

だから

$$ \frac{5}{t}=\frac{9+3\sqrt{13}}{4} $$

である。よって

$$ t=\frac{5}{m} =\frac{20}{9+3\sqrt{13}} =\frac{5(\sqrt{13}-3)}{3} $$

を得る。

一方、$x=a+t$ における接線は

$$ y=\frac{5}{t}(x-a-t)+5\log t-2 $$

すなわち

$$ y=mx+\left(5\log t-7-ma\right) $$

であるから、その切片は

$$ n=5\log t-7-ma $$

である。したがって

$$ a=\frac{5\log t-7-n}{m} $$

となる。

ここに

$$ m=\frac{9+3\sqrt{13}}{4},\qquad n=\frac{77+5\sqrt{13}}{32},\qquad t=\frac{5(\sqrt{13}-3)}{3} $$

を代入すると

$$ a =\frac{5(\sqrt{13}-3)}{3}\log!\left(\frac{5(\sqrt{13}-3)}{3}\right) +\frac{419-143\sqrt{13}}{48} $$

を得る。

解説

共通接線の問題では、直線を $y=mx+n$ とおいて「重解条件」を使うのが最も標準的である。接点そのものを先に置く方法でもよいが、この問題では傾きと切片で処理するほうが整理しやすい。

また、(2) では対数関数の接線の傾きが常に正であることに気づけるかが重要である。これにより、(1) で求めた2本の共通接線のうち候補が1本に確定し、$a$ の決定が一気に進む。

答え

**(1)**

曲線 $y=9x^2+6x+3$ と $y=-3x^2+x+\dfrac{5}{3}$ の両方に接する直線は

$$ y=\frac{9+3\sqrt{13}}{4}x+\frac{77+5\sqrt{13}}{32}, \qquad y=\frac{9-3\sqrt{13}}{4}x+\frac{77-5\sqrt{13}}{32} $$

である。

**(2)**

上の3つの曲線に接する直線が存在するような定数 $a$ の値は

$$ a =\frac{5(\sqrt{13}-3)}{3}\log!\left(\frac{5(\sqrt{13}-3)}{3}\right) +\frac{419-143\sqrt{13}}{48} $$

である。