解説

方針・初手

$f''(x)>0$ であるから、$f'(x)$ は単調増加である。 そこで

$$ x=(1-t)a+tb $$

とおき、$0<t<1$ のときに $a<x<b$ となることを用いて、区間 $[a,x]$ と $[x,b]$ に平均値の定理を適用し、両区間の傾きを比較する。

解法1

まず、$t=0$ または $t=1$ のときは

$$ f((1-t)a+tb)=(1-t)f(a)+tf(b) $$

となり、等号が成り立つ。

以下、$0<t<1$ の場合を考える。

$$ x=(1-t)a+tb $$

とおくと、$a<b$ より

$$ a<x<b $$

である。また

$$ x-a=t(b-a),\qquad b-x=(1-t)(b-a) $$

が成り立つ。

ここで平均値の定理より、ある $\xi,\eta$ が存在して

$$ a<\xi<x<\eta<b $$

かつ

$$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(\xi),\qquad \frac{f(b)-f(x)}{b-x}=f'(\eta) $$

となる。

$f''(x)>0$ であるから $f'(x)$ は狭義単調増加であり、$\xi<\eta$ から

$$ f'(\xi)<f'(\eta) $$

したがって

$$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\frac{f(b)-f(x)}{b-x} $$

である。ここで $x-a=t(b-a)>0,\ b-x=(1-t)(b-a)>0$ を用いると

$$ \frac{f(x)-f(a)}{t(b-a)}<\frac{f(b)-f(x)}{(1-t)(b-a)} $$

となるので、両辺に $t(1-t)(b-a)>0$ を掛けて

$$ (1-t)\bigl(f(x)-f(a)\bigr)<t\bigl(f(b)-f(x)\bigr) $$

を得る。これを整理すると

$$ f(x)<(1-t)f(a)+tf(b) $$

すなわち

$$ f((1-t)a+tb)<(1-t)f(a)+tf(b) $$

が成り立つ。

以上より、$0\le t\le 1$ に対して

$$ f((1-t)a+tb)\le (1-t)f(a)+tf(b) $$

が示された。

さらに、$0<t<1$ では不等号は厳密な不等号であるから、等号が成り立つのは端の場合

$$ t=0,\qquad t=1 $$

のときに限る。

解説

この問題の本質は、$f''(x)>0$ から $f'(x)$ が増加関数になることである。 すると、区間の右側の平均変化率のほうが左側の平均変化率より大きくなる。これを平均値の定理で厳密に書けば、関数のグラフが弦の下側に来ること、すなわち凸性の不等式が得られる。

また、$f''(x)>0$ なので凸性は厳密であり、内分点 $x=(1-t)a+tb$ が真に内部にある $0<t<1$ では必ず厳密不等号になる。したがって等号は端点の場合しか起こらない。

答え

$$ f((1-t)a+tb)\le (1-t)f(a)+tf(b)\qquad (0\le t\le 1) $$

が成り立つ。

さらに、$a<b$ かつ $f''(x)>0$ より、$0<t<1$ では

$$ f((1-t)a+tb)<(1-t)f(a)+tf(b) $$

である。したがって、等号が成り立つのは

$$ t=0\ \text{または}\ t=1 $$

のときに限る。