解説

方針・初手

（1） は導関数 $y'$ と $y''$ を求めれば、増減・極値・凹凸・変曲点が一度に分かる。

（2） は接点の $x$ 座標を $a$ として接線の方程式を立て、$(0,b)$ を代入すればよい。

（3） は （2） で得た関係式 $b=(a-1)e^a$ を、（1） で調べた関数のグラフの性質に読み替えると、接線の本数が判定できる。

解法1

（1） 関数 $y=(x-1)e^x$ の増減、極値、凹凸、変曲点を調べる。

まず導関数を求める。

$$ y'=(x-1)e^x+e^x=xe^x $$

$e^x>0$ であるから、$y'$ の符号は $x$ の符号で決まる。したがって

• $x<0$ で $y'<0$
• $x=0$ で $y'=0$
• $x>0$ で $y'>0$

より、$y=(x-1)e^x$ は

• $(-\infty,0)$ で減少
• $(0,\infty)$ で増加

する。よって $x=0$ で極小値をとり、

$$ y(0)=(0-1)e^0=-1 $$

より、極小値は $-1$ である。極大値はない。

次に、凹凸を調べるために第2導関数を求める。

$$ y''=e^x+xe^x=(x+1)e^x $$

ここでも $e^x>0$ であるから、$y''$ の符号は $x+1$ の符号で決まる。したがって

• $x<-1$ で $y''<0$
• $x=-1$ で $y''=0$
• $x>-1$ で $y''>0$

である。

よって、グラフは

• $x<-1$ で上に凸
• $x>-1$ で下に凸

となり、$x=-1$ で変曲する。変曲点の座標は

$$ y(-1)=(-2)e^{-1}=-\frac{2}{e} $$

より、

$$ \left(-1,-\frac{2}{e}\right) $$

である。

さらにグラフの概形をつかむために、いくつかの値と極限を確認する。

$$ y(1)=0 $$

より、グラフは $x=1$ で $x$ 軸と交わる。また

$$ y(0)=-1 $$

より、$y$ 軸とは $(0,-1)$ で交わる。

問題文の指示より

$$ \lim_{x\to-\infty}(x-1)e^x=0 $$

である。しかも $x\to-\infty$ のとき $x-1<0$ かつ $e^x>0$ なので、$y$ は負の値のまま $0$ に近づく。すなわち、左方ではグラフは $x$ 軸の下側から $y=0$ に近づく。

また、$x\to\infty$ では $(x-1)e^x\to\infty$ である。

以上より、グラフは左方で $x$ 軸の下から $y=0$ に近づき、$x=0$ で極小値 $-1$ をとり、その後増加して $(1,0)$ を通り、$\left(-1,-\dfrac{2}{e}\right)$ で変曲する形になる。

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（2） 関数 $y=-e^x$ のグラフ上の点 $(a,-e^a)$ における接線が点 $(0,b)$ を通るとき、$a,b$ の関係式を求める。

関数

$$ y=-e^x $$

の導関数は

$$ y'=-e^x $$

である。したがって、点 $(a,-e^a)$ における接線の傾きは $-e^a$ であるから、接線の方程式は

$$ y+e^a=-e^a(x-a) $$

すなわち

$$ y=-e^a x+(a-1)e^a $$

である。

この接線が $(0,b)$ を通るので、$x=0,\ y=b$ を代入すると

$$ b=(a-1)e^a $$

を得る。これが求める関係式である。

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（3） 点 $(0,b)$ を通る、関数 $y=-e^x$ のグラフの接線の本数を調べる。

（2） より、点 $(0,b)$ を通る接線が存在するための条件は、ある実数 $a$ が存在して

$$ b=(a-1)e^a $$

を満たすことである。

ここで

$$ f(a)=(a-1)e^a $$

とおくと、これは （1） で調べた関数そのものである。したがって、その値の取り方は （1） の結果から分かる。

$f(a)$ は

• $(-\infty,0)$ で減少
• $(0,\infty)$ で増加
• $a=0$ で最小値 $-1$
• $\displaystyle \lim_{a\to-\infty}f(a)=0$
• $f(1)=0$
• $\displaystyle \lim_{a\to\infty}f(a)=\infty$

である。

よって、方程式

$$ (a-1)e^a=b $$

の実数解の個数は次のようになる。

**(i)**

$b<-1$ のとき

最小値が $-1$ なので解はない。したがって接線は **0本** である。

**(ii)**

$b=-1$ のとき

$a=0$ のただ1つで成り立つ。したがって接線は **1本** である。

**(iii)**

$-1<b<0$ のとき

$a<0$ に1つ、$0<a<1$ に1つ、合わせて2つ解がある。したがって接線は **2本** である。

**(iv)**

$b=0$ のとき

$f(1)=0$ より $a=1$ のただ1つで成り立つ。したがって接線は **1本** である。

**(v)**

$b>0$ のとき

$a>1$ にただ1つ解がある。したがって接線は **1本** である。

以上より、点 $(0,b)$ を通る接線の本数は

$$ \begin{cases} 0 & (b<-1)\\ 1 & (b=-1)\\ 2 & (-1<b<0)\\ 1 & (b=0)\\ 1 & (b>0) \end{cases} $$

である。

解説

この問題の中心は、関数 $(x-1)e^x$ の性質を丁寧に調べることである。

（2） で現れる $b=(a-1)e^a$ は、（1） の関数そのものになっている。したがって （3） は新しく難しい計算をする問題ではなく、（1） のグラフをそのまま「横線 $y=b$ との交点の個数」として読み替える問題である。

このように、接線の本数を調べる問題では、接点の座標を文字で置いて「通る条件」を式にし、その式を1つの関数として解析するのが典型的な方針である。

答え

**(1)**

増減

$(-\infty,0)$ で減少、$(0,\infty)$ で増加

極値

$x=0$ で極小値 $-1$、極大値はない

凹凸

$x<-1$ で上に凸、$x>-1$ で下に凸

変曲点

$$ \left(-1,-\frac{2}{e}\right) $$

グラフは $x\to-\infty$ で $y\to 0^{-}$、$(0,-1)$ を通って極小となり、$(1,0)$ を通って増加し、$\left(-1,-\dfrac{2}{e}\right)$ で変曲する

**(2)**

$$ b=(a-1)e^a $$

**(3)**

点 $(0,b)$ を通る接線の本数は

$$ \begin{cases} 0 & (b<-1)\\ 1 & (b=-1)\\ 2 & (-1<b<0)\\ 1 & (b=0)\\ 1 & (b>0) \end{cases} $$