解説

方針・初手

不等式

$$ \log x+\frac{a}{x^n}>0 \qquad (x>0) $$

がすべての $x>0$ で成り立つためには、関数

$$ f(x)=\log x+\frac{a}{x^n}\qquad (x>0) $$

の最小値が正であればよい。したがって、まず $f(x)$ の最小値を調べる。

解法1

$a\leqq 0$ のときを先に考える。

$a=0$ なら

$$ f(x)=\log x $$

であり、$x\to 0+0$ とすると $\log x\to -\infty$ であるから、$f(x)>0$ はすべての $x>0$ で成り立たない。

また $a<0$ なら、$x\to 0+0$ とすると

$$ \frac{a}{x^n}\to -\infty $$

であり、やはり $f(x)>0$ は成り立たない。

よって必要条件として

$$ a>0 $$

である。

そこで $a>0$ として $f(x)$ を微分すると、

$$ f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{na}{x^{n+1}} =\frac{x^n-na}{x^{n+1}} $$

となる。

$x>0$ では分母は正であるから、$f'(x)$ の符号は $x^n-na$ の符号で決まる。したがって、

$$ 0<x<(na)^{1/n} \ \text{で}\ f'(x)<0, \qquad x>(na)^{1/n} \ \text{で}\ f'(x)>0 $$

である。よって $f(x)$ は

$$ x=(na)^{1/n} $$

で最小値をとる。

その値は

$$ f\bigl((na)^{1/n}\bigr) =\log\bigl((na)^{1/n}\bigr)+\frac{a}{na} =\frac{1}{n}\log(na)+\frac{1}{n} =\frac{1+\log(na)}{n} $$

である。

これが正であればよいから、

$$ \frac{1+\log(na)}{n}>0 $$

すなわち

$$ 1+\log(na)>0 $$

である。ゆえに

$$ \log(na)>-1 $$

となり、

$$ na>e^{-1} $$

であるから、

$$ a>\frac{1}{en} $$

を得る。

以上より、求める範囲は

$$ a>\frac{1}{en} $$

である。

解法2

解法1と同様に、まず $a\leqq 0$ では $x\to 0+0$ とすると不等式は成り立たないので、$a>0$ が必要である。

そこで $a>0$ として

$$ t=\frac{x^n}{na}\quad (t>0) $$

とおくと、

$$ x^n=nat $$

より

$$ \log x=\frac{1}{n}\log(x^n)=\frac{1}{n}\log(na)+\frac{1}{n}\log t $$

であり、

$$ \frac{a}{x^n}=\frac{a}{nat}=\frac{1}{nt} $$

である。したがって

$$ \log x+\frac{a}{x^n} =\frac{1}{n}\log(na)+\frac{1}{n}\log t+\frac{1}{nt} $$

となる。

ここで、$t>0$ に対して

$$ \log t\geqq 1-\frac{1}{t} $$

が成り立つから、

$$ \log t+\frac{1}{t}\geqq 1 $$

である。よって

$$ \log x+\frac{a}{x^n} \geqq \frac{1}{n}\log(na)+\frac{1}{n} $$

となる。

したがって、すべての $x>0$ で

$$ \log x+\frac{a}{x^n}>0 $$

が成り立つための必要十分条件は

$$ \frac{1}{n}\log(na)+\frac{1}{n}>0 $$

すなわち

$$ 1+\log(na)>0 $$

である。よって

$$ a>\frac{1}{en} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、与えられた不等式を「すべての $x>0$ で成り立つ」という条件から、関数の最小値の問題に直すことである。

解法1は微分によって最小値を直接求める標準的な方法である。最小値を与える点が $x=(na)^{1/n}$ であることまで分かるので、最も基本的で見通しがよい。

解法2は

$$ \log t\geqq 1-\frac{1}{t} $$

という有名不等式を用いる方法であり、微分を使わずに下から評価している。こちらでも同じ条件が自然に現れる。

答え

$$ a>\frac{1}{en} $$

である。