解説

方針・初手

（1） は $\log(1+t)$ に平均値の定理を用いると、$\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ を $\dfrac{1}{x+1}$ と直接比較できる。

（2） は

$$ F(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \qquad (x>0) $$

とおいて単調性を調べればよい。そのために （1） の結果をそのまま利用する。

解法1

**(1)**

関数

$$ f(t)=\log t $$

を区間

$$ \left[1,1+\frac{1}{x}\right] $$

で考える。$x>0$ であるから、この区間で平均値の定理が使える。

したがって、ある $c$ が

$$ 1<c<1+\frac{1}{x} $$

を満たして

$$ \log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\log 1=f'(c)\cdot \frac{1}{x} $$

となる。$f'(t)=\dfrac{1}{t}$ であるから、

$$ \log\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{c}\cdot \frac{1}{x} $$

である。

ここで

$$ 1<c<1+\frac{1}{x} $$

より

$$ \frac{1}{1+\frac{1}{x}}<\frac{1}{c}<1 $$

となる。これに $\dfrac{1}{x}>0$ を掛けると、

$$ \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x}} < \log\left(1+\frac{1}{x}\right) < \frac{1}{x} $$

を得る。左辺を整理すると

$$ \frac{1}{x+1}<\log\left(1+\frac{1}{x}\right) $$

である。よって、

$$ \log\left(1+\frac{1}{x}\right)>\frac{1}{x+1} $$

となる。

**(2)**

$$ F(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \qquad (x>0) $$

とおく。

両辺の対数をとって

$$ \log F(x)=x\log\left(1+\frac{1}{x}\right) $$

とおくと、微分して

$$ \begin{aligned} (\log F(x))' &=\log\left(1+\frac{1}{x}\right) +x\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \\ &=\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1} \end{aligned} $$

となる。

（1） より、$x>0$ では

$$ \log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}>0 $$

であるから、

$$ (\log F(x))'>0 $$

である。したがって $\log F(x)$ は増加し、ゆえに $F(x)$ も増加する。

ここで

$$ \frac{2002}{2001}>\frac{2001}{2002} $$

であるから、

$$ F\left(\frac{2002}{2001}\right)>F\left(\frac{2001}{2002}\right) $$

すなわち、

$$ \left(1+\frac{2001}{2002}\right)^{\frac{2002}{2001}} > \left(1+\frac{2002}{2001}\right)^{\frac{2001}{2002}} $$

である。

解説

（1） の本質は、$\log t$ の増え方を接線の傾き $\dfrac{1}{t}$ で評価することである。平均値の定理を使うと、$\log\left(1+\dfrac{1}{x}\right)$ がちょうど区間 $\left[1,1+\dfrac{1}{x}\right]$ のどこかの点での傾き $\dfrac{1}{c}$ に $\dfrac{1}{x}$ を掛けた形になるので、$\dfrac{1}{x+1}$ との比較が自然にできる。

（2） では、与式をそのまま比べるのではなく

$$ \left(1+\frac{1}{x}\right)^x $$

という形の関数の増減に持ち込むのが典型である。指数関数の大小比較では、対数をとって微分しやすい形にするのが有効である。

答え

**(1)**

$$ \log\left(1+\frac{1}{x}\right)>\frac{1}{x+1} \qquad (x>0) $$

**(2)**

$$ \left(1+\frac{2001}{2002}\right)^{\frac{2002}{2001}} > \left(1+\frac{2002}{2001}\right)^{\frac{2001}{2002}} $$