解説

方針・初手

点 $Q$ の $x$ 座標を $t$ とおくと、$Q\neq O$ より $t\neq 0$ である。

そこで

$$ Q\left(t,\frac{t^2}{t^2+1}\right) $$

とおき、曲線 $C$ の接線の傾きと直線 $PQ$ の傾きを求めて、直交条件

$$ (\text{接線の傾き})\times (\text{直線 }PQ\text{ の傾き})=-1 $$

を式にする。すると $a$ を $t^2$ の式で表せるので、その値域を調べればよい。

解法1

曲線

$$ y=\frac{x^2}{x^2+1} $$

を

$$ y=f(x) $$

とおく。

このとき

$$ f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2} $$

である。

$Q\neq O$ を満たす点を

$$ Q\left(t,\frac{t^2}{t^2+1}\right)\qquad (t\neq 0) $$

とおく。

$Q$ における $C$ の接線の傾きは

$$ f'(t)=\frac{2t}{(t^2+1)^2} $$

であり、直線 $PQ$ の傾きは

$$ \frac{\frac{t^2}{t^2+1}-a}{t} $$

である。

条件より、これらは直交するから

$$ \frac{2t}{(t^2+1)^2}\cdot \frac{\frac{t^2}{t^2+1}-a}{t}=-1 $$

となる。$t\neq 0$ なので約して

$$ \frac{2\left(\frac{t^2}{t^2+1}-a\right)}{(t^2+1)^2}=-1 $$

よって

$$ a=\frac{t^2}{t^2+1}+\frac{(t^2+1)^2}{2} $$

を得る。

ここで

$$ s=t^2\qquad (s>0) $$

とおくと、

$$ a=g(s):=\frac{s}{s+1}+\frac{(s+1)^2}{2} $$

である。

したがって、求めるのは $s>0$ における $g(s)$ の値域である。

微分すると

$$ g'(s)=\frac{1}{(s+1)^2}+(s+1) $$

となり、$s>0$ では明らかに

$$ g'(s)>0 $$

である。よって $g(s)$ は $s>0$ で単調増加する。

したがって最小値は $s\to 0+$ のときに近づき、

$$ \lim_{s\to 0+}g(s)=\frac{0}{1}+\frac{1^2}{2}=\frac12 $$

である。ただし $s>0$ であって $s=0$ は許されないので、$a=\frac12$ は実現しない。

ゆえに、$Q\neq O$ を満たす点が存在するための $a$ の範囲は

$$ a>\frac12 $$

である。

解説

原点 $O(0,0)$ 自身は常に条件を満たす。実際、$O$ における接線は $x$ 軸、直線 $PO$ は $y$ 軸であり、両者は直交する。

本問では、それ以外の点が存在する条件を調べる必要があるので、$Q\neq O$ として $x$ 座標を $t\neq 0$ とおくのが自然である。すると直交条件がそのまま方程式になり、$a$ を $t^2$ の関数として表せる。

あとはその関数の値域を調べるだけであり、単調増加であることから境界値が $\frac12$ であると分かる。ただし $Q\neq O$ なので $t=0$ は除外され、等号はつかない点が重要である。

答え

$$ a>\frac12 $$

である。