解説

方針・初手

媒介変数表示された曲線の接線は

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} $$

を用いて求めるのが基本である。

この問題ではまず $\theta=t$ および $\theta=t+\pi$ における接線の傾きを求め，それぞれの接線の方程式を立てる。次にその2直線を連立して交点 $R$ を求める。

解法1

曲線 $C$ は

$$ x=a\theta-a\sin\theta,\qquad y=a-a\cos\theta $$

で与えられる。

したがって

$$ \frac{dx}{d\theta}=a(1-\cos\theta),\qquad \frac{dy}{d\theta}=a\sin\theta $$

である。

（1） 点 $P\bigl(at-a\sin t,\ a-a\cos t\bigr)$ における接線

$\theta=t$ における接線の傾きは

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{a\sin t}{a(1-\cos t)} =\frac{\sin t}{1-\cos t} =\cot\frac t2 $$

である。

よって，求める接線は

$$ y-a(1-\cos t)=\cot\frac t2\left\{x-a(t-\sin t)\right\} $$

である。

これを整理すると

$$ y=\cot\frac t2,x+2a-at\cot\frac t2 $$

となる。

（2） 点 $\bigl(a(t+\pi)-a\sin(t+\pi),\ a-a\cos(t+\pi)\bigr)$ における接線との交点

まず

$$ \sin(t+\pi)=-\sin t,\qquad \cos(t+\pi)=-\cos t $$

より，この点を

$$ Q\bigl(a(t+\pi+\sin t),\ a(1+\cos t)\bigr) $$

と書ける。

$t\neq \pi$ のとき，$\theta=t+\pi$ における接線の傾きは

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{a\sin(t+\pi)}{a(1-\cos(t+\pi))} =\frac{-\sin t}{1+\cos t} =-\tan\frac t2 $$

であるから，$Q$ における接線は

$$ y-a(1+\cos t) =-\tan\frac t2\left\{x-a(t+\pi+\sin t)\right\} $$

すなわち

$$ y=-\tan\frac t2,x+2a+a(t+\pi)\tan\frac t2 $$

である。

これと （1） で求めた接線

$$ y=\cot\frac t2,x+2a-at\cot\frac t2 $$

との交点を $R(x,y)$ とする。

$\alpha=\dfrac t2$ とおくと，2式を連立して

$$ \begin{aligned} x\cot\alpha+2a-at\cot\alpha &= -x\tan\alpha+2a+a(t+\pi)\tan\alpha \end{aligned} $$

より

$$ \begin{aligned} x(\cot\alpha+\tan\alpha) &= a{t\cot\alpha+(t+\pi)\tan\alpha} \end{aligned} $$

を得る。

ここで

$$ \begin{aligned} \cot\alpha+\tan\alpha &= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \\ \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} x &= a\left(t\cos^2\alpha+(t+\pi)\sin^2\alpha\right) \\ &= a\left(t+\pi\sin^2\alpha\right) \end{aligned} $$

すなわち

$$ x =

a\left(t+\frac{\pi}{2}(1-\cos t)\right) $$

となる。

次に，これを （1） の接線の式に代入すると

$$ y =

\cot\alpha(x-at)+2a $$

であり，

$$ x-at=a\pi\sin^2\alpha $$

だから

$$ \begin{aligned} y &= a\pi\sin^2\alpha\cot\alpha+2a \\ &= a\pi\sin\alpha\cos\alpha+2a \\ &= 2a+\frac{a\pi}{2}\sin t \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ R\left( a\left(t+\frac{\pi}{2}(1-\cos t)\right),\ 2a+\frac{a\pi}{2}\sin t \right) $$

である。

なお $t=\pi$ のときは $Q=(2\pi a,0)$ は尖点であり，その接線は $x=2\pi a$ である。この場合も交点は

$$ R=(2\pi a,\ 2a) $$

となり，上の式と一致する。

解説

この問題の要点は，媒介変数表示の接線を

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} $$

で処理することである。

また，

$$ \frac{\sin t}{1-\cos t}=\cot\frac t2,\qquad \frac{\sin t}{1+\cos t}=\tan\frac t2 $$

という半角公式を使うと，接線の式がきれいになり，交点計算も整理しやすい。

（2） では $\theta=t+\pi$ に対応する点が尖点になる $t=\pi$ の場合だけ注意が必要であるが，最終的な交点の座標は一般式にそのまま含まれている。

答え

**(1)**

接線の方程式は

$$ y-a(1-\cos t)=\cot\frac t2\left\{x-a(t-\sin t)\right\} $$

すなわち

$$ y=\cot\frac t2,x+2a-at\cot\frac t2 $$

である。

**(2)**

交点 $R$ の座標は

$$ R\left( a\left(t+\frac{\pi}{2}(1-\cos t)\right),\ 2a+\frac{a\pi}{2}\sin t \right) $$

である。