解説

方針・初手

曲線 $y=e^{-x^2}$ 上の接点の $x$ 座標を $t$ とおく。まず、点 $\left(t,e^{-t^2}\right)$ における接線の式を求める。

その接線が点 $(a,b)$ を通るための条件は、$b$ が $t$ の関数として表せるので、その関数の値域を調べればよい。

解法1

（1） 曲線 $y=e^{-x^2}$ の導関数は

$$ y'=-2xe^{-x^2} $$

である。

したがって、点 $\left(t,e^{-t^2}\right)$ における接線の傾きは

$$ -2te^{-t^2} $$

である。

よって、その接線の方程式は

$$ y-e^{-t^2}=-2te^{-t^2}(x-t) $$

すなわち

$$ y=-2te^{-t^2}x+(2t^2+1)e^{-t^2} $$

となる。

したがって、求める接線の傾きは

$$ -2te^{-t^2} $$

であり、$y$ 切片は

$$ (2t^2+1)e^{-t^2} $$

である。

（2） 点 $(a,b)$ がこの接線上にあるためには

$$ b=-2te^{-t^2}a+(2t^2+1)e^{-t^2} $$

でなければならない。そこで

$$ f(t)=(2t^2-2at+1)e^{-t^2} $$

とおく。

すると、点 $(a,b)$ から曲線 $y=e^{-x^2}$ に接線を引くことができるための条件は、ある実数 $t$ が存在して

$$ b=f(t) $$

となることである。よって、$f(t)$ の値域を調べればよい。

**(2)(a)** $f(t)$ の増減と極値

$f'(t)$ を求めると

$$ \begin{aligned} f'(t) &=(4t-2a)e^{-t^2}+(2t^2-2at+1)(-2t)e^{-t^2} \\ &=2(-2t^3+2at^2+t-a)e^{-t^2} \\ &=2(t-a)(1-2t^2)e^{-t^2} \end{aligned} $$

となる。

ここで $e^{-t^2}>0$ であり、また仮定より $a>\sqrt{2}>\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、臨界点は

$$ t=-\frac{1}{\sqrt{2}},\ \frac{1}{\sqrt{2}},\ a $$

である。

したがって、符号は次のようになる。

• $t<-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ では $f'(t)>0$
• $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}<t<\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ では $f'(t)<0$
• $\dfrac{1}{\sqrt{2}}<t<a$ では $f'(t)>0$
• $a<t$ では $f'(t)<0$

よって、$f(t)$ は

• $\left(-\infty,-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ で増加
• $\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ で減少
• $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},a\right)$ で増加
• $(a,\infty)$ で減少

する。

極値を求めると、

$$ f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =\left(1+\sqrt{2}a+1\right)e^{-1/2} =(\sqrt{2}a+2)e^{-1/2} $$

$$ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) =\left(1-\sqrt{2}a+1\right)e^{-1/2} =(2-\sqrt{2}a)e^{-1/2} $$

$$ f(a)=(2a^2-2a^2+1)e^{-a^2}=e^{-a^2} $$

である。

したがって、

• $t=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極大値 $(\sqrt{2}a+2)e^{-1/2}$
• $t=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極小値 $(2-\sqrt{2}a)e^{-1/2}$
• $t=a$ で極大値 $e^{-a^2}$

をとる。

**(2)(b)** $f(t)$ のとり得る値の範囲

さらに、

$$ \lim_{t\to\pm\infty}f(t)=0 $$

である。

増減の様子とあわせると、$f(t)$ の最大値は

$$ (\sqrt{2}a+2)e^{-1/2} $$

最小値は

$$ (2-\sqrt{2}a)e^{-1/2} $$

である。

よって、$f(t)$ の値域は

$$ (2-\sqrt{2}a)e^{-1/2}\leqq f(t)\leqq (\sqrt{2}a+2)e^{-1/2} $$

である。

（3） 点 $(a,b)$ から曲線 $y=e^{-x^2}$ に接線を引くことができるための条件は、ある実数 $t$ が存在して $b=f(t)$ となることであった。

したがって、必要十分条件は

$$ (2-\sqrt{2}a)e^{-1/2}\leqq b\leqq (\sqrt{2}a+2)e^{-1/2} $$

である。

解説

接点を $\left(t,e^{-t^2}\right)$ とおいて接線を媒介変数 $t$ で表すのが基本方針である。

この問題の本質は、「点 $(a,b)$ を通る接線が存在するか」を、「$b$ がある関数 $f(t)$ の値として実現されるか」という値域の問題に言い換える点にある。$a>\sqrt{2}$ という条件は、$f'(t)=2(t-a)(1-2t^2)e^{-t^2}$ の符号変化を整理しやすくするために効いている。

答え

**(1)**

傾きは

$$ -2te^{-t^2} $$

$y$ 切片は

$$ (2t^2+1)e^{-t^2} $$

である。

**(2)(a)**

$$ f'(t)=2(t-a)(1-2t^2)e^{-t^2} $$

より、

$\left(-\infty,-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ で増加

$\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ で減少

$\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},a\right)$ で増加

$(a,\infty)$ で減少

である。

極大値は

$$ f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=(\sqrt{2}a+2)e^{-1/2},\qquad f(a)=e^{-a^2} $$

極小値は

$$ f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=(2-\sqrt{2}a)e^{-1/2} $$

である。

**(2)(b)** $f(t)$ の値域は

$$ (2-\sqrt{2}a)e^{-1/2}\leqq f(t)\leqq (\sqrt{2}a+2)e^{-1/2} $$

である。

**(3)**

点 $(a,b)$ から曲線 $y=e^{-x^2}$ に接線を引くことができるための条件は

$$ (2-\sqrt{2}a)e^{-1/2}\leqq b\leqq (\sqrt{2}a+2)e^{-1/2} $$

である。