解説

方針・初手

（1） はそのまま扱うよりも、指数の符号に注意して場合分けし、対数を取って単調性を調べるのが自然である。

（2） は （1） の不等式を少し変形した形に $x=\pm 0.01$ を代入すると直ちに従う。

解法1

まず （1） を示す。

（i） $0<x<1$ のとき

与えられた不等式

$$ (1-x)^{1-\frac1x}<(1+x)^{\frac1x} $$

の両辺は正であり、かつ $x>0$ なので、両辺を $x$ 乗しても不等号の向きは変わらない。よって

$$ (1-x)^{x-1}<1+x $$

を示せばよい。

ここで

$$ F(x)=\ln(1+x)+(1-x)\ln(1-x) $$

とおくと、上の不等式は $F(x)>0$ と同値である。

実際、$F(0)=0$ であり、

$$ \begin{aligned} F'(x) &=\frac{1}{1+x}-\ln(1-x)-1 \\ &=-\ln(1-x)-\frac{x}{1+x} \end{aligned} $$

となる。

一方、

$$ -\ln(1-x)=\int_0^x \frac{dt}{1-t} $$

であり、$0\le t\le x<1$ では $1-t<1+x$ だから

$$ \frac{1}{1-t}>\frac{1}{1+x} $$

である。したがって

$$ -\ln(1-x)=\int_0^x \frac{dt}{1-t} > \int_0^x \frac{dt}{1+x} =\frac{x}{1+x} $$

となるので

$$ F'(x)>0 $$

である。したがって $F$ は $(0,1)$ で増加し、

$$ F(x)>F(0)=0 $$

となる。ゆえに

$$ (1-x)^{1-\frac1x}<(1+x)^{\frac1x} $$

が成り立つ。

（ii） $-1<x<0$ のとき

$y=-x$ とおくと $0<y<1$ であり、示すべき不等式は

$$ (1+y)^{1+\frac1y}<(1-y)^{-\frac1y} $$

となる。

ここで $y>0$ なので、両辺を $y$ 乗すると

$$ (1+y)^{1+y}<\frac{1}{1-y} $$

を示せばよい。

そこで

$$ G(y)=(1+y)\ln(1+y)+\ln(1-y) $$

とおくと、これは $G(y)<0$ と同値である。

実際、$G(0)=0$ であり、

$$ \begin{aligned} G'(y) &=\ln(1+y)+1-\frac{1}{1-y} \\ &=\ln(1+y)-\frac{y}{1-y} \end{aligned} $$

となる。

ここで $y>0$ に対して $\ln(1+y)<y$ であり、さらに $0<y<1$ より

$$ \frac{y}{1-y}>y $$

であるから、

$$ G'(y)<y-\frac{y}{1-y}<0 $$

となる。したがって $G$ は $(0,1)$ で減少し、

$$ G(y)<G(0)=0 $$

である。よって

$$ (1+y)^{1+\frac1y}<(1-y)^{-\frac1y} $$

すなわち

$$ (1-x)^{1-\frac1x}<(1+x)^{\frac1x} $$

が成り立つ。

以上より （1） は示された。

次に （2） を示す。

（1） の不等式の両辺に $(1-x)^{1/x}$ を掛けると、

$$ 1-x<(1-x^2)^{\frac1x} $$

を得る。

これに $x=0.01$ を代入すると、

$$ 0.99<0.9999^{100} $$

である。

また $x=-0.01$ を代入すると、

$$ 1.01<0.9999^{-100} $$

となるから、逆数を取って

$$ 0.9999^{100}<\frac{1}{1.01} $$

を得る。ここで

$$ 0.9999=0.99\times 1.01 $$

だから、

$$ 0.9999^{101}<\frac{0.9999}{1.01}=0.99 $$

となる。

以上を合わせて

$$ 0.9999^{101}<0.99<0.9999^{100} $$

が成り立つ。

解説

この問題の要点は、指数に $\dfrac1x$ が入っているため、$x$ の符号によって累乗の扱いが変わる点にある。そのため （1） では $x>0$ と $x<0$ に分けて考えるのが安全である。

また （2） は数値計算で押し切るのではなく、（1） を

$$ 1-x<(1-x^2)^{\frac1x} $$

という形に直してから $x=\pm 0.01$ を入れるのが本筋である。特に左側の不等式 $0.9999^{101}<0.99$ は、$x=-0.01$ を使って一度逆数の形に直すのがポイントである。

答え

**(1)**

$-1<x<1,\ x\ne 0$ のとき

$$ (1-x)^{1-\frac1x}<(1+x)^{\frac1x} $$

が成り立つ。

**(2)**

$$ 0.9999^{101}<0.99<0.9999^{100} $$

が成り立つ。