解説

方針・初手

(1) は微分して導関数の符号を調べればよい。分母に $x$ があるので、定義域 $x>0$ を意識して計算する。

(2) は $e^\pi$ と $\pi^e$ をそのまま比べるより、対数を取って $\dfrac{\log x}{x}$ の大小比較に帰着すると見通しがよい。(1) の結果をそのまま使う。

解法1

まず

$$ f(x)=\frac{\log x}{x}\qquad (x>0) $$

を微分する。

$$ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x}{x^2} =\frac{1-\log x}{x^2} $$

ここで $x>0$ なので $x^2>0$ である。したがって $f'(x)$ の符号は $1-\log x$ の符号で決まる。

$$ 1-\log x>0 \iff \log x<1 \iff x<e $$

同様に

$$ 1-\log x=0 \iff x=e, \qquad 1-\log x<0 \iff x>e $$

よって、$f(x)$ は

**(i)**

$0<x<e$ で増加し、

**(ii)**

$x>e$ で減少する。

したがって $x=e$ で最大値をとり、その値は

$$ f(e)=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e} $$

である。

次に (2) を考える。

(1) より、$x>e$ において $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ は減少する。ここで $\pi>e$ であるから

$$ f(\pi)<f(e) $$

すなわち

$$ \frac{\log \pi}{\pi}<\frac{1}{e} $$

である。両辺に正の数 $e\pi$ を掛けると

$$ e\log \pi<\pi $$

となる。ここで指数関数は単調増加であるから、両辺を指数に持ち上げて

$$ e^{e\log \pi}<e^\pi $$

すなわち

$$ \pi^e<e^\pi $$

を得る。よって

$$ e^\pi>\pi^e $$

である。

解説

この問題の要点は、(2) を直接扱わずに

$$ \frac{\log x}{x} $$

という関数の増減に落とし込むことである。指数の大小比較では、対数を取ると積や商の形に直せることが多い。

また、(1) では導関数

$$ f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2} $$

の分母が常に正であるため、符号判定は $1-\log x$ だけ見ればよい。こうした「分母の正負を先に固定してから分子だけを見る」処理は典型である。

答え

**(1)**

$f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ は $0<x<e$ で増加し、$x>e$ で減少する。したがって $x=e$ で最大値 $\dfrac{1}{e}$ をとる。

**(2)**

$$ e^\pi>\pi^e $$

である。