解説

方針・初手

$y=e^{|x|}$ は

• $x \geqq 0$ では $y=e^x$
• $x \leqq 0$ では $y=e^{-x}$

からなる左右対称のグラフである。

したがって，直線 $y=ax+b$ との共有点がただ $1$ つである条件は，

• 頂点 $(0,1)$ だけで交わる場合
• 右枝または左枝にただ $1$ 点で接する場合

に分けて調べればよい。

解法1

（1） $b$ を $a$ で表す

まず，共有点が $x=0$ にあるとすると，

$$ 1=e^{|0|}=a \cdot 0+b $$

より

$$ b=1 $$

である。

このとき直線は $y=ax+1$ である。これが $(0,1)$ 以外で $y=e^{|x|}$ と交わらないための条件を調べる。

$x>0$ では $e^{|x|}=e^x$ であり，$e^x>1+x$ を用いると，

$$ a \leqq 1 $$

ならば

$$ ax+1 \leqq x+1<e^x $$

となる。

また $x<0$ とし，$t=-x>0$ とおくと $e^{|x|}=e^t$ である。$a \geqq -1$ ならば

$$ ax+1=1-at \leqq 1+t<e^t $$

となる。

よって，$(0,1)$ のみで交わるのは

$$ -1 \leqq a \leqq 1,\quad b=1 $$

のときである。

次に，共有点が $x=t>0$ にただ $1$ つある場合を考える。右枝 $y=e^x$ は下に凸なので，直線がただ $1$ 点で交わるなら接するしかない。したがって，

$$ a=e^t,\qquad at+b=e^t $$

であるから，

$$ a=e^t,\qquad b=e^t-at=e^t-te^t=e^t(1-t) $$

となる。ここで $a=e^t>1$，$t=\ln a$ なので，

$$ b=a(1-\ln a)\qquad (a>1) $$

を得る。

このとき $t>0$ より $b=e^t(1-t)<1$ である。したがって $x \leqq 0$ では

$$ ax+b \leqq b<1 \leqq e^{-x}=e^{|x|} $$

となり，左側では交わらない。よってこの場合は確かに共有点はただ $1$ つである。

同様に，共有点が $x=-t<0$ にただ $1$ つある場合は，左枝 $y=e^{-x}$ に接するから，

$$ a=-e^t,\qquad b=e^t(1-t) $$

となる。ここで $-a=e^t>1$，$t=\ln(-a)$ より，

$$ b=(-a){1-\ln(-a)}=|a|(1-\ln|a|)\qquad (a<-1) $$

である。

以上をまとめると，

$$ b=f(a)= \begin{cases} 1 & (|a|\leqq 1),\\ |a|(1-\ln|a|) & (|a|>1) \end{cases} $$

である。

このグラフは $ab$ 平面上で，

• $-1 \leqq a \leqq 1$ では水平線 $b=1$
• $a>1,\ a<-1$ では左右対称の曲線 $b=|a|(1-\ln|a|)$

となる。両側の枝は $(1,1),(-1,1)$ を通り，$|a|$ の増加とともに単調に下がり，$a=\pm e$ で $b=0$ となる。

（2） $pa+f(a)$ を最大にする $a$ と最大値

$$ F(a)=pa+f(a) $$

とおく。

（i） $a>1$ のとき

$$ F(a)=pa+a(1-\ln a) $$

であるから，

$$ F'(a)=p-\ln a $$

となる。

したがって，

• $p>0$ のとき $a=e^p$ で極大
• $p\leqq 0$ のときは $a=1$ で最大

である。

$p>0$ のときの最大値は

$$ F(e^p)=pe^p+e^p(1-p)=e^p $$

である。

（ii） $|a|\leqq 1$ のとき

$$ F(a)=pa+1 $$

であり，これは $a$ の一次式である。したがってこの区間での最大値は

$$ 1+|p| $$

である。

（iii） $a<-1$ のとき

$u=-a\ (u>1)$ とおくと，

$$ F(a)=-pu+u(1-\ln u) $$

となる。これを $u$ の関数とみれば，

$$ \frac{dF}{du}=-p-\ln u $$

であるから，

• $p<0$ のとき $u=e^{-p}$，すなわち $a=-e^{-p}$ で極大
• $p\geqq 0$ のときは $a=-1$ で最大

である。

$p<0$ のときの最大値は

$$ F(-e^{-p})=-p(-e^{-p})+e^{-p}(1-(-p))=e^{-p} $$

である。

最後に各場合を比較する。

$p>0$ なら

$$ e^p>1+p>1-p $$

より，全体の最大値は $e^p$ であり，そのとき

$$ a=e^p $$

である。

$p<0$ なら

$$ e^{-p}>1-p>1+p $$

より，全体の最大値は $e^{-p}$ であり，そのとき

$$ a=-e^{-p} $$

である。

$p=0$ なら

$$ F(a)=f(a)\leqq 1 $$

であり，最大値は $1$，そのとき

$$ -1\leqq a\leqq 1 $$

である。

以上より，

$$ \max{pa+f(a)}=e^{|p|} $$

である。

解説

この問題の本質は，$y=e^{|x|}$ を左右 $2$ 本の指数関数 $y=e^x,\ y=e^{-x}$ に分けて考えることである。

共有点がただ $1$ つになるのは，

• 折れ目 $(0,1)$ だけで交わる場合
• どちらか一方の枝に接する場合

に限られる。特に $|a|\leqq 1$ で $b=1$ になる部分が，$ab$ 平面では水平線になる点が重要である。

（2） では，得られた $f(a)$ を区間ごとに分けて微分すればよい。最大値が最終的に $e^{|p|}$ にまとまるのがきれいな結論である。

答え

**(1)**

$$ b=f(a)= \begin{cases} 1 & (|a|\leqq 1),\\ |a|(1-\ln|a|) & (|a|>1) \end{cases} $$

したがって，$ab$ 平面上のグラフは，$-1\leqq a\leqq 1$ で水平線 $b=1$，その両端から左右対称に曲線 $b=|a|(1-\ln|a|)$ が延びる形である。

**(2)**

$$ \max{pa+f(a)}=e^{|p|} $$

であり，これを与える $a$ は

$$ a= \begin{cases} e^p & (p>0),\\ \text{任意の }a\in[-1,1] & (p=0),\\ -e^{-p} & (p<0) \end{cases} $$

である。