解説

方針・初手

（1） は $f(x)=x-2\log x$ とおいて増減を調べればよい。最小値を求め、その値が正であることを示す。

（2） は （1） の結果を $x=n$ に適用し、それを整理して右辺 $e^{2n\log n}$ と結びつける。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=x-2\log x \qquad (x\geqq 1) $$

とおく。

このとき

$$ f'(x)=1-\frac{2}{x}=\frac{x-2}{x} $$

であるから、$x\geqq 1$ において

• $1\leqq x<2$ では $f'(x)<0$
• $x=2$ では $f'(x)=0$
• $x>2$ では $f'(x)>0$

となる。したがって、$f(x)$ は $x=2$ で最小値をとる。

よって

$$ f(x)\geqq f(2)=2-2\log 2 $$

である。

ここで $2.7<e<2.8$ より $2<e$ であるから、対数関数の単調増加性により

$$ \log 2<\log e=1 $$

となる。したがって

$$ f(2)=2-2\log 2>2-2=0 $$

である。

ゆえに、$x\geqq 1$ において

$$ f(x)>0 $$

すなわち

$$ x>2\log x $$

が成り立つ。

**(2)**

自然数 $n$ に対しては $n\geqq 1$ であるから、（1） に $x=n$ を代入して

$$ n>2\log n $$

を得る。両辺に $n(>0)$ を掛けると

$$ n^2>2n\log n $$

となる。

また、$n\geqq 1$ なら $\log n\geqq 0$ であるから $2n\log n\geqq 0$ であり、両辺を $n$ 乗して

$$ n^{2n}>(2n\log n)^n $$

を得る。

一方、$\log$ は自然対数であるから

$$ n=e^{\log n} $$

であり、したがって

$$ n^{2n}=(e^{\log n})^{2n}=e^{2n\log n} $$

である。

よって

$$ (2n\log n)^n<e^{2n\log n} $$

が成り立つ。

解説

（1） の本質は、$x$ と $\log x$ の増え方の差を $x-2\log x$ で見て、その最小値を調べることである。導関数をみると最小となる点が $x=2$ とすぐ分かるので、あとはそのときの値が正であることを示せばよい。

（2） は新しい発想はほとんど不要で、（1） を $x=n$ に適用してから整理するだけである。右辺を $e^{2n\log n}=n^{2n}$ と見直せることが決め手である。

答え

**(1)**

$x\geqq 1$ において

$$ x>2\log x $$

が成り立つ。

**(2)**

自然数 $n$ に対して

$$ (2n\log n)^n<e^{2n\log n} $$

が成り立つ。