解説

方針・初手

まず $f'(x)$ を求めて、点 $A(a,f(a))$ における接線 $l$ の式を出す。

点 $P$ は、原点 $O$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足である。したがって （1） は点と直線の距離公式で処理できる。

また、（2） は $Q$ と $P$ の座標を求め、ベクトル $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}$ を用いて $\sin\theta$ を出すのが確実である。（3） では、その式を $|a|e^{-a^2}$ の最大化に帰着させる。

解法1

$f(x)=e^{-x^2}$ より

$$ f'(x)=-2xe^{-x^2} $$

である。

したがって、点 $A(a,e^{-a^2})$ における接線 $l$ は

$$ y-e^{-a^2}=-2ae^{-a^2}(x-a) $$

すなわち

$$ y=-2ae^{-a^2}x+(1+2a^2)e^{-a^2} $$

である。

（1） 線分 $OP$ の長さ

接線 $l$ を標準形で書くと

$$ 2ae^{-a^2}x+y-(1+2a^2)e^{-a^2}=0 $$

となる。

点 $P$ は原点 $O(0,0)$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足なので、$OP$ は原点から直線 $l$ までの距離に等しい。よって

$$ OP=\frac{\left|-(1+2a^2)e^{-a^2}\right|}{\sqrt{(2ae^{-a^2})^2+1}} $$

ここで $(1+2a^2)e^{-a^2}>0$ であるから

$$ OP=\frac{(1+2a^2)e^{-a^2}}{\sqrt{1+4a^2e^{-2a^2}}} $$

となる。

（2） $\sin\theta$ を $a$ で表す

$l$ と $y$ 軸との交点を $Q$ とすると、$x=0$ を代入して

$$ Q\left(0,(1+2a^2)e^{-a^2}\right) $$

である。

次に、$P$ は原点から直線

$$ 2ae^{-a^2}x+y-(1+2a^2)e^{-a^2}=0 $$

に下ろした垂線の足であるから、その座標は

$$ P\left( \frac{2a(1+2a^2)e^{-2a^2}}{1+4a^2e^{-2a^2}}, \frac{(1+2a^2)e^{-a^2}}{1+4a^2e^{-2a^2}} \right) $$

となる。

ここで

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \left( \frac{2a(1+2a^2)e^{-2a^2}}{1+4a^2e^{-2a^2}}, \frac{(1+2a^2)e^{-a^2}}{1+4a^2e^{-2a^2}} \right), \quad \overrightarrow{OQ} &= \left( 0,(1+2a^2)e^{-a^2} \right) \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \sin\theta &= \frac{\left|\det\left(\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}\right)\right|}{|\overrightarrow{OP}|,|\overrightarrow{OQ}|} \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \sin\theta &= \frac{2|a|e^{-a^2}}{\sqrt{1+4a^2e^{-2a^2}}} \end{aligned} $$

を得る。

絶対値を使わずに書けば

$$ \begin{aligned} \sin\theta &= \sqrt{\frac{4a^2e^{-2a^2}}{1+4a^2e^{-2a^2}}} \end{aligned} $$

である。

（3） $\sin\theta$ を最大にする $a$ と、そのときの $\sin\theta$

（2） の結果より

$$ \sin\theta=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \quad \left(t=2|a|e^{-a^2}\geqq 0\right) $$

とおける。

関数

$$ \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} $$

は $t\geqq 0$ で単調増加だから、$\sin\theta$ を最大にするには $2|a|e^{-a^2}$ を最大にすればよい。

そこで $x=|a| , (x\geqq 0)$ とおき、

$$ \phi(x)=2xe^{-x^2} $$

とする。このとき

$$ \phi'(x)=2e^{-x^2}(1-2x^2) $$

であるから、

$$ \phi'(x)=0 \iff 1-2x^2=0 \iff x=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

で最大になる。

したがって

$$ |a|=\frac{1}{\sqrt{2}} $$

すなわち

$$ a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

のとき $\sin\theta$ は最大となる。

そのとき

$$ t=2\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-1/2} =\sqrt{\frac{2}{e}} $$

より、

$$ \begin{aligned} \sin\theta_{\max} &= \frac{\sqrt{2/e}}{\sqrt{1+2/e}} \\ \sqrt{\frac{2}{e+2}} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の本質は、接線そのものよりも、点 $P$ が「原点から接線に下ろした垂線の足」であることにある。

そのため （1） は距離公式を使うのが最短である。また （2） は角度を図形的に追うより、座標とベクトルで処理した方が符号の混乱がない。

さらに （3） では、$\sin\theta$ の式がそのまま複雑に見えても、実際には $2|a|e^{-a^2}$ の増加関数になっている。したがって、結局は基本的な微分による最大値問題に帰着する。

答え

**(1)**

$$ OP=\frac{(1+2a^2)e^{-a^2}}{\sqrt{1+4a^2e^{-2a^2}}} $$

**(2)**

$$ \begin{aligned} \sin\theta &= \frac{2|a|e^{-a^2}}{\sqrt{1+4a^2e^{-2a^2}}} \end{aligned} $$

または

$$ \begin{aligned} \sin\theta &= \sqrt{\frac{4a^2e^{-2a^2}}{1+4a^2e^{-2a^2}}} \end{aligned} $$

**(3)**

$$ a=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} $$

のとき $\sin\theta$ は最大となり、その最大値は

$$ \sqrt{\frac{2}{e+2}} $$

である。