基礎問題集

数学3 微分法「接線・不等式」の問題39 解説

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数学3微分法接線・不等式問題39

解説

接線の方程式は、その点での微分係数を傾きとして求める。したがって、まず $y=3^x$ を微分し、点 $P(a,3^a)$ における傾きを出す。

法線は接線に垂直であるから、その傾きは接線の傾きの $-\dfrac{1}{\text{傾き}}$ で与えられる。

$y=3^x$ を微分すると、

$$ \frac{dy}{dx}=3^x\log 3 $$

である。

したがって、点 $P(a,3^a)$ における接線の傾きは

$$ 3^a\log 3 $$

である。

よって、点 $(a,3^a)$ を通る接線の方程式は

$$ y-3^a=3^a\log 3(x-a) $$

すなわち、

$$ y=3^a\log 3(x-a)+3^a $$

である。

次に、法線の傾きは接線の傾きの負の逆数であるから、

$$ -\frac{1}{3^a\log 3} $$

である。

したがって、点 $(a,3^a)$ を通る法線の方程式は

$$ y-3^a=-\frac{1}{3^a\log 3}(x-a) $$

すなわち、

$$ y=-\frac{1}{3^a\log 3}(x-a)+3^a $$

である。

指数関数 $a^x$ の接線を求める基本問題である。要点は、微分公式

$$ (a^x)'=a^x\log a $$

を正しく使うことである。

また、法線は接線に垂直であるから、傾きの処理を機械的にできるようにしておくべきである。接線の傾きが $m$ なら、法線の傾きは $-\dfrac{1}{m}$ である。

$\text{[ア]} ; y=3^a\log 3(x-a)+3^a$

$\text{[イ]} ; y=-\dfrac{1}{3^a\log 3}(x-a)+3^a$