解説

方針・初手

まず $f(x)=x^2e^{-2x}$ を微分して増減を調べれば、極値は判定できる。

また、接線が垂直に交わる条件は、2本の接線の傾きを $m_1,m_2$ として $m_1m_2=-1$ であることを用いればよい。したがって、$f'(a)$ と $f'(-a)$ を求めて条件式を立てる。

解法1

$f(x)=x^2e^{-2x}$ より、積の微分法を用いると

$$ f'(x)=2xe^{-2x}+x^2(-2)e^{-2x}=2x(1-x)e^{-2x} $$

となる。

ここで $e^{-2x}>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $2x(1-x)$ の符号で決まる。

したがって、$f'(x)$ の符号は次のようになる。

• $x<0$ のとき $f'(x)<0$
• $0<x<1$ のとき $f'(x)>0$
• $x>1$ のとき $f'(x)<0$

よって、$f(x)$ は

• $x=0$ で減少から増加に変わるので極小
• $x=1$ で増加から減少に変わるので極大

をとる。

それぞれの値は

$$ f(0)=0,\qquad f(1)=e^{-2} $$

である。

したがって、（1） の答えは

• $x=0$ で極小値 $0$
• $x=1$ で極大値 $e^{-2}$

である。

次に （2） を考える。

点 $(a,f(a))$ における接線の傾きは

$$ f'(a)=2a(1-a)e^{-2a} $$

である。

また、点 $(-a,f(-a))$ における接線の傾きは

$$ f'(-a)=2(-a){1-(-a)}e^{-2(-a)} =-2a(1+a)e^{2a} $$

である。

この2本の接線が垂直に交わるから、その傾きの積は $-1$ である。したがって

$$ f'(a)f'(-a)=-1 $$

すなわち

$$ {2a(1-a)e^{-2a}}{-2a(1+a)e^{2a}}=-1 $$

となる。整理すると

$$ -4a^2(1-a^2)=-1 $$

よって

$$ 4a^2(1-a^2)=1 $$

となる。ここで $t=a^2$ とおくと

$$ 4t(1-t)=1 $$

すなわち

$$ 4t-4t^2=1 $$

$$ 4t^2-4t+1=0 $$

$$ (2t-1)^2=0 $$

したがって

$$ t=\frac12 $$

であるから

$$ a^2=\frac12 $$

$a>0$ より

$$ a=\frac{1}{\sqrt2} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、指数関数 $e^{-2x}$ は常に正であるため、増減や接線の傾きの符号判定では多項式部分だけを見ればよいという点にある。

（1） では $f'(x)=2x(1-x)e^{-2x}$ の符号を調べるだけで極値が分かる。

（2） では接線の方程式そのものを書かなくても、垂直条件を「傾きの積が $-1$」と捉えると計算が大きく簡潔になる。特に $e^{-2a}$ と $e^{2a}$ が打ち消し合うことが見抜けると処理しやすい。

答え

**(1)**

極小値は $0$（$x=0$）、極大値は $e^{-2}$（$x=1$）である。

**(2)**

$$ a=\frac{1}{\sqrt2} $$