解説

方針・初手

不等式 $e^x>x^t$ をそのまま扱うよりも、

$$ g(x)=e^x x^{-t}=\frac{e^x}{x^t} $$

とおいて $g(x)$ の最小値を調べるのが自然である。すると $e^x>x^t$ は $g(x)>1$ と言い換えられるので、まず $g(x)$ の最小値を求めればよい。

解法1

$g(x)=e^x x^{-t}$ を $x>0$ で考える。$t$ は正の定数である。

まず微分すると、

$$ g'(x)=e^x x^{-t}+e^x(-t)x^{-t-1} $$

であるから、

$$ g'(x)=e^x x^{-t-1}(x-t) $$

となる。

ここで $x>0$ かつ $e^x>0$ より、$e^x x^{-t-1}>0$ である。したがって $g'(x)$ の符号は $x-t$ の符号で決まる。よって、

• $0<x<t$ では $g'(x)<0$
• $x=t$ では $g'(x)=0$
• $x>t$ では $g'(x)>0$

である。

したがって $g(x)$ は $x=t$ で最小値をとる。

よって最小値は

$$ g(t)=e^t t^{-t}=\left(\frac{e}{t}\right)^t $$

である。

以上より、（1） の答えは

$$ \left(\frac{e}{t}\right)^t $$

である。

次に （2） を示す。

すべての正の実数 $x$ に対して $e^x>x^t$ が成り立つことは、

$$ \frac{e^x}{x^t}>1 $$

すなわち

$$ g(x)>1 $$

がすべての正の実数 $x$ に対して成り立つことと同値である。

ここで $g(x)$ の最小値は $\left(\frac{e}{t}\right)^t$ であるから、$g(x)>1$ がすべての $x>0$ に対して成り立つための必要十分条件は

$$ \left(\frac{e}{t}\right)^t>1 $$

である。

$t>0$ なので、両辺の $t$ 乗根をとればこれは

$$ \frac{e}{t}>1 $$

と同値である。したがって

$$ t<e $$

を得る。

逆に $t<e$ ならば $\frac{e}{t}>1$ であり、$t>0$ より

$$ \left(\frac{e}{t}\right)^t>1 $$

である。よって $g(x)$ の最小値が $1$ より大きいので、すべての $x>0$ に対して $g(x)>1$、すなわち

$$ e^x>x^t $$

が成り立つ。

以上より、すべての正の実数 $x$ に対して $e^x>x^t$ が成り立つための必要十分条件は

$$ t<e $$

である。

解説

この問題の本質は、不等式 $e^x>x^t$ を直接処理するのではなく、比

$$ \frac{e^x}{x^t} $$

の最小値に帰着する点にある。

$e^x>x^t$ がすべての $x>0$ で成り立つためには、その比が常に $1$ より大きければよい。したがって、関数の最小値を調べれば必要十分条件が一気に出る。微分すると符号が $x-t$ だけで決まるため、極値の判定も素直である。

答え

**(1)**

$g(x)$ の最小値は

$$ \left(\frac{e}{t}\right)^t $$

である。

**(2)**

すべての正の実数 $x$ に対して $e^x>x^t$ が成り立つための必要十分条件は

$$ t<e $$

である。