解説

方針・初手

（1） は

$$ f(x)=x^p-px+p-1 $$

とおいて最小値を調べればよい。

（2） は （1） の不等式に適切な置換を入れて導く。

（3） は （2） の等号成立条件を、（1） の等号成立条件に戻して調べる。

解法1

まず （1） を示す。

$$ f(x)=x^p-px+p-1 \qquad (x>0) $$

とおくと、

$$ f'(x)=px^{p-1}-p=p(x^{p-1}-1) $$

である。

ここで $p\geqq 2$ であり、$x>0$ だから、

• $0<x<1$ のとき $x^{p-1}<1$ より $f'(x)<0$
• $x=1$ のとき $f'(x)=0$
• $x>1$ のとき $x^{p-1}>1$ より $f'(x)>0$

となる。したがって $f(x)$ は $x=1$ で最小となる。

実際、

$$ f(1)=1-p+p-1=0 $$

だから、

$$ f(x)\geqq 0 $$

すなわち

$$ x^p+p-1\geqq px $$

が成り立つ。これで （1） は示された。

次に （2） を示す。

（1） の不等式において

$$ x=\frac{a}{b^{1/(p-1)}} $$

とおく。$a>0,\ b>0$ なので $x>0$ であり、（1） を適用できる。すると

$$ \left(\frac{a}{b^{1/(p-1)}}\right)^p+p-1 \geqq p\frac{a}{b^{1/(p-1)}} $$

を得る。

両辺に $b^{p/(p-1)}$ を掛けると、

$$ a^p+(p-1)b^{p/(p-1)}\geqq pab $$

となる。よって （2） が示された。

最後に （3） を考える。

$p=3$ のとき、（2） は

$$ a^3+2b^{3/2}\geqq 3ab $$

となる。

この不等式は （1） に

$$ x=\frac{a}{b^{1/2}} $$

を代入して得られたものであるから、等式が成り立つのは （1） で等式が成り立つとき、すなわち $x=1$ のときに限る。

したがって

$$ \frac{a}{b^{1/2}}=1 $$

より

$$ a=\sqrt{b} $$

である。

解説

（1） は「微分して最小値を調べる」典型問題である。$x=1$ で最小になることを押さえれば、そのまま不等式が示せる。

（2） は （1） の文字を置き換えただけであり、本質的には同じ不等式である。こうした「基本不等式に適切な代入をして形を合わせる」発想が重要である。

（3） は単に等号条件を追えばよい。導出元の （1） で等号が $x=1$ のときに限って成り立つことを使うのが最も確実である。

答え

**(1)**

$$ x^p+p-1\geqq px \qquad (x>0) $$

が成り立つ。

**(2)**

$$ a^p+(p-1)b^{p/(p-1)}\geqq pab \qquad (a>0,\ b>0) $$

が成り立つ。

**(3)**

等式成立条件は

$$ a=\sqrt{b} $$

である。