解説

方針・初手

接線が原点を通る条件は、接点を $x=t$ とすると、接線の方程式に $(0,0)$ を代入して表せる。

したがって、まず

$$ f(x)=\frac{\log(ax)}{x^2} $$

とおいて導関数を求め、接線が原点を通る条件と、傾きが $9e^2$ である条件を連立して $t,\ a$ を決める。

解法1

曲線

$$ y=f(x)=\frac{\log(ax)}{x^2} $$

を考える。ただし、定義域は $x>0$ である。

まず微分すると、

$$ f(x)=x^{-2}\log(ax) $$

より、

$$ f'(x)=(-2x^{-3})\log(ax)+x^{-2}\cdot \frac{1}{x} =\frac{1-2\log(ax)}{x^3} $$

である。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接線の方程式は

$$ y=f'(t)(x-t)+f(t) $$

となる。

この接線が原点を通るので、$(0,0)$ を代入して

$$ 0=f'(t)(-t)+f(t) $$

すなわち

$$ f(t)=t f'(t) $$

が成り立つ。

ここで

$$ f(t)=\frac{\log(at)}{t^2},\qquad f'(t)=\frac{1-2\log(at)}{t^3} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{\log(at)}{t^2} &= t\cdot \frac{1-2\log(at)}{t^3} \\ \frac{1-2\log(at)}{t^2} \end{aligned} $$

となる。両辺に $t^2$ を掛けると

$$ \log(at)=1-2\log(at) $$

よって

$$ 3\log(at)=1 $$

すなわち

$$ \log(at)=\frac13 $$

を得る。

次に、接線の傾きが $9e^2$ であるから、

$$ f'(t)=9e^2 $$

である。上で求めた $\log(at)=\frac13$ を代入すると、

$$ f'(t)=\frac{1-2\cdot \frac13}{t^3} =\frac{1/3}{t^3} =\frac{1}{3t^3} $$

したがって

$$ \frac{1}{3t^3}=9e^2 $$

より

$$ t^3=\frac{1}{27e^2} $$

となるから、

$$ t=\frac{1}{3e^{2/3}} $$

である。

また $\log(at)=\frac13$ より

$$ at=e^{1/3} $$

だから、

$$ a=\frac{e^{1/3}}{t} =\frac{e^{1/3}}{1/(3e^{2/3})} =3e $$

となる。

解説

この問題の要点は、接線が原点を通る条件を

$$ f(t)=t f'(t) $$

の形に直すことである。

接線の傾きの条件だけでは $a$ と接点 $t$ の両方が残るが、原点を通る条件を併用すると $\log(at)$ の値が先に確定する。そのあとで傾きの条件を使えば、$t$、さらに $a$ が順に決まる。

答え

$$ a=3e $$