解説

方針・初手

（1） は

$$ f(x)=x\log x-(x-1)\log(x+1) $$

とおいて増減を調べればよい。

（2） は

$$ a_n=\frac{(n!)^2}{n^n} $$

とおき，これが単調増加であることを （1） を用いて示すのが自然である。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=x\log x-(x-1)\log(x+1)\qquad (x\geqq 1) $$

とおく。

微分すると，

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(\log x+1)-\left(\log(x+1)+\frac{x-1}{x+1}\right) \\ &=\log\frac{x}{x+1}+\frac{2}{x+1} \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ u=\frac{1}{x+1} $$

とおくと，$x\geqq 1$ より $0<u\leqq \dfrac12$ であり，

$$ f'(x)=\log(1-u)+2u $$

と書ける。

そこで

$$ h(u)=\log(1-u)+2u \qquad \left(0<u\leqq \frac12\right) $$

とおくと，

$$ h'(u)=-\frac{1}{1-u}+2=\frac{1-2u}{1-u}\geqq 0 $$

であるから，$h(u)$ は $0<u\leqq \dfrac12$ で増加する。よって

$$ h(u)\geqq h(0)=0 $$

となり，

$$ f'(x)\geqq 0 \qquad (x\geqq 1) $$

が従う。したがって $f(x)$ は $x\geqq 1$ で増加する。

ゆえに

$$ f(x)\geqq f(1)=1\cdot \log 1-0\cdot \log 2=0 $$

であるから，

$$ x\log x\geqq (x-1)\log(x+1) $$

が示された。

**(2)**

$$ a_n=\frac{(n!)^2}{n^n} $$

とおく。

このとき，

$$ \begin{aligned} \frac{a_{n+1}}{a_n} &=\frac{{(n+1)!}^2}{(n+1)^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{(n!)^2} \\ &=\frac{(n+1)^2n^n}{(n+1)^{n+1}} \\ &=\frac{n^n}{(n+1)^{n-1}} \end{aligned} $$

である。

ここで （1） に $x=n$ を代入すると，

$$ n\log n\geqq (n-1)\log(n+1) $$

であるから，両辺の指数をとって

$$ n^n\geqq (n+1)^{n-1} $$

を得る。したがって

$$ \frac{a_{n+1}}{a_n}\geqq 1 $$

となり，数列 ${a_n}$ は単調増加である。

しかも

$$ a_1=\frac{(1!)^2}{1^1}=1 $$

であるから，

$$ a_n\geqq 1 $$

すなわち

$$ (n!)^2\geqq n^n $$

が成り立つ。

解法2

以下は （2） の別解である。

$$ (n!)^2=(1\cdot 2\cdot 3\cdots n)(n\cdot (n-1)\cdots 1) =\prod_{k=1}^n k(n+1-k) $$

と書ける。

ここで $1\leqq k\leqq n$ に対して，

$$ k(n+1-k)\geqq n $$

が成り立つ。実際，

$$ k(n+1-k)-n=(k-1)(n-k)\geqq 0 $$

である。

よって各因子がすべて $n$ 以上なので，

$$ (n!)^2=\prod_{k=1}^n k(n+1-k)\geqq \prod_{k=1}^n n=n^n $$

となる。

解説

（1） は差をとって関数化し，微分して増減を調べるのが標準的である。微分した形がそのままでは見にくいので，$u=\dfrac{1}{x+1}$ と置き換えると符号判定がしやすくなる。

（2） は，そのまま積を評価するよりも

$$ \frac{(n!)^2}{n^n} $$

を数列とみて，隣接項比を調べると （1） がそのまま使える。別解のように

$$ (n!)^2=\prod_{k=1}^n k(n+1-k) $$

と対にして評価する方法も頻出であり，こちらはより直接的である。

答え

**(1)**

$$ x\log x\geqq (x-1)\log(x+1)\qquad (x\geqq 1) $$

**(2)**

$$ (n!)^2\geqq n^n\qquad (n\in \mathbb{N}) $$