解説

方針・初手

（1） は $f(x)=e^{-x}-(1-x)$ をおいて増減を調べればよい。

（2） は，1回の試合で現れる対戦カードの総数を $N={}_{n}\mathrm{C}_{2}$ とおく。すると，同じ組合せが一度も出ない確率は積で表せる。その各因子に （1） の不等式を適用して上から評価する。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=e^{-x}-(1-x) $$

とおく。

$x\ge0$ において

$$ f'(x)=-e^{-x}+1=1-e^{-x}\ge0 $$

であるから，$f(x)$ は $x\ge0$ で単調増加である。

また，

$$ f(0)=e^{0}-(1-0)=0 $$

であるから，$x\ge0$ で

$$ f(x)\ge0 $$

すなわち

$$ e^{-x}-(1-x)\ge0 $$

となる。したがって，

$$ 1-x\le e^{-x} $$

が成り立つ。

さらに，$x>0$ では $e^{-x}<1$ より

$$ f'(x)=1-e^{-x}>0 $$

となるので，$f(x)>0$ である。したがって $x>0$ のときは実際には

$$ 1-x<e^{-x} $$

である。

**(2)**

1回の試合で選ばれる2人の組合せの総数は

$$ N={}_{n}\mathrm{C}_{2}=\frac{n(n-1)}2 $$

である。

1回目はどの組でもよい。2回目に1回目と同じ組を引かない確率は $\dfrac{N-1}{N}$，3回目にそれまでと重ならない確率は $\dfrac{N-2}{N}$，……，$n$ 回目にそれまでと重ならない確率は $\dfrac{N-n+1}{N}$ である。

よって，同じ選手同士の試合が一度も起こらない確率を $P$ とすると，

$$ P=\frac{N}{N}\cdot\frac{N-1}{N}\cdot\frac{N-2}{N}\cdots\frac{N-n+1}{N} =\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{N}\right) $$

となる。

ここで $n\ge3$ なので

$$ N=\frac{n(n-1)}2\ge n-1 $$

であり，$0\le k\le n-1$ に対して

$$ 0\le \frac{k}{N}\le1 $$

が成り立つ。

したがって （1） を $x=\dfrac{k}{N}$ に適用すると，

$$ 1-\frac{k}{N}\le e^{-k/N} $$

を得る。しかも $k\ge1$ では $\dfrac{k}{N}>0$ なので，

$$ 1-\frac{k}{N}<e^{-k/N} $$

である。

よって，

$$ P<\prod_{k=0}^{n-1}e^{-k/N} =e^{-\sum_{k=0}^{n-1}k/N} =e^{-\frac{1}{N}\cdot\frac{n(n-1)}2} $$

ここで

$$ N=\frac{n(n-1)}2 $$

であるから，

$$ P<e^{-1}=\frac1e $$

となる。

したがって，同じ選手同士の試合が一度も起こらない確率は $\dfrac1e$ より小さい。

解説

（1） は指数関数と直線の大小比較であり，差をとって単調性を見るのが基本である。

（2） の核心は，試合のたびに「対戦カード」を1つずつ選んでいるとみなすことである。すると，全体は ${}_{n}\mathrm{C}_{2}$ 枚のカードから重複なく $n$ 回引く確率になり，積で表せる。

その積

$$ \prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{N}\right) $$

に対して （1） の

$$ 1-x\le e^{-x} $$

を適用すると，積が指数の和に変わるので評価が非常に容易になる。このように，積の評価を指数関数で処理するのは典型的な手法である。

答え

**(1)**

$$ 1-x\le e^{-x}\qquad(x\ge0) $$

**(2)**

同じ選手同士の試合が一度も起こらない確率 $P$ は

$$ P=\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{{}_{n}\mathrm{C}_{2}}\right)<\frac1e $$

である。したがって，求める確率は $\dfrac1e$ より小さい。