解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $t$ とおいて、$y=e^x+1$ の $x=t$ における接線を求める。

その接線が $(a,0)$ を通る条件を $a$ と $t$ の関係式に直せば、接点は方程式の解として表される。そこで、その方程式を与える関数の単調性を調べれば、接線の本数が分かる。

解法1

$y=e^x+1$ の $x=t$ における接点は $(t,e^t+1)$ であり、傾きは $e^t$ である。したがって、その接線は

$$ y-(e^t+1)=e^t(x-t) $$

すなわち

$$ y=e^t x+e^t(1-t)+1 $$

である。

この直線が $(a,0)$ を通るための条件は

$$ 0=a e^t+e^t(1-t)+1 $$

であるから、

$$ e^t(a+1-t)+1=0 $$

すなわち

$$ a=t-1-e^{-t} $$

となる。

ここで

$$ f(t)=t-1-e^{-t} $$

とおくと、

$$ f'(t)=1+e^{-t}>0 $$

であるから、$f(t)$ は実数全体で単調増加である。また、

$$ \lim_{t\to -\infty}f(t)=-\infty,\qquad \lim_{t\to \infty}f(t)=\infty $$

であるので、$f$ は実数全体を値域にもつ。

したがって、任意の実数 $a$ に対して方程式

$$ a=t-1-e^{-t} $$

はただ1つの実数解 $t$ をもつ。これは、$(a,0)$ を通り $y=e^x+1$ に接する直線がただ1本存在することを意味する。

次に （2） を考える。

（1） より、各 $n$ に対して $(a_n,0)$ を通り $y=e^x+1$ に接する直線の接点の $x$ 座標 $a_{n+1}$ はただ1つ定まる。その定義より

$$ a_n=a_{n+1}-1-e^{-a_{n+1}} $$

であるから、

$$ a_{n+1}-a_n=1+e^{-a_{n+1}} $$

を得る。

よって

$$ a_{n+1}-a_n>1 $$

であり、数列 ${a_n}$ は単調増加である。さらに $a_1=1$ なので、

$$ a_n\ge 1+(n-1)=n $$

が成り立つ。したがって

$$ a_n\to \infty \qquad (n\to\infty) $$

である。

ゆえに

$$ e^{-a_{n+1}}\to 0 $$

となるので、

$$ a_{n+1}-a_n=1+e^{-a_{n+1}}\to 1 $$

である。したがって

$$ \lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=1 $$

を得る。

解説

接線の本数を調べる問題では、接点を文字でおいて「その接線が指定された点を通る条件」を式にするのが基本である。

この問題では

$$ a=t-1-e^{-t} $$

という形に整理でき、右辺を $t$ の関数として見れば単調増加であるため、解がただ1つであることが直ちに分かる。

また （2） では、この関係式をそのまま数列の漸化式として用いると

$$ a_{n+1}-a_n=1+e^{-a_{n+1}} $$

が得られる。差が $1$ に近づくことを示すには、まず $a_n\to\infty$ を確定させることが重要である。

答え

**(1)**

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、$(a,0)$ を通る接線が存在する条件は

$$ a=t-1-e^{-t} $$

である。関数 $f(t)=t-1-e^{-t}$ は

$$ f'(t)=1+e^{-t}>0 $$

より単調増加で、しかも

$$ \lim_{t\to -\infty}f(t)=-\infty,\qquad \lim_{t\to \infty}f(t)=\infty $$

である。よって任意の実数 $a$ に対して方程式 $a=f(t)$ はただ1つの解をもち、したがって $(a,0)$ を通り $y=e^x+1$ に接する直線はただ1本存在する。

**(2)**

$$ a_n=a_{n+1}-1-e^{-a_{n+1}} $$

より

$$ a_{n+1}-a_n=1+e^{-a_{n+1}} $$

である。ここで $a_{n+1}-a_n>1$ だから $a_n\to\infty$ となり、

$$ e^{-a_{n+1}}\to 0 $$

である。したがって

$$ \lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=1 $$

である。