解説

方針・初手

線分 $AB$ の方程式を求め，曲線 $y=\log x$ 上の点 $C(x,\log x)$ からその直線までの鉛直方向の距離

$$ CP=\log x-{\text{直線 }AB\text{ の }x\text{ における }y\text{ 座標}} $$

を $x$ の関数として表すのが初手である。

この関数は下に凸ではなく上に凸ではない，すなわち $g''(x)<0$ を満たすので，極大値は微分で処理できる。また，（3） はこの距離関数を用いて，$\log x$ と弦 $AB$ のずれを評価すればよい。

解法1

線分 $AB$ の傾きを

$$ m=\frac{\log b-\log a}{b-a} $$

とおく。すると直線 $AB$ の方程式は

$$ y=\log a+m(x-a) $$

である。

曲線 $G$ 上の点 $C$ を

$$ C=(x,\log x)\qquad (a\le x\le b) $$

とおくと，$C$ から $x$ 軸への垂線と線分 $AB$ の交点 $P$ は

$$ P=(x,\ \log a+m(x-a)) $$

であるから，

$$ CP=\log x-{\log a+m(x-a)} $$

となる。そこで

$$ g(x)=\log x-\log a-m(x-a) $$

とおくと，$CP=g(x)$ である。

（1） の証明

関数 $\log x$ に平均値の定理を用いると，ある $c\in(a,b)$ が存在して

$$ \frac{\log b-\log a}{b-a}=\frac{1}{c} $$

となる。よって

$$ \frac{b-a}{\log b-\log a}=c $$

であり，$c\in(a,b)$ だから

$$ a<\frac{b-a}{\log b-\log a}<b $$

が成り立つ。

（2） の解答

まず

$$ g'(x)=\frac{1}{x}-m,\qquad g''(x)=-\frac{1}{x^2}<0 $$

であるから，$g(x)$ は上に凸であり，極大値は $g'(x)=0$ を満たす点でとる。

$g'(x)=0$ より

$$ x=\frac{1}{m}=\frac{b-a}{\log b-\log a} $$

である。（1） によりこの値は $(a,b)$ に属するから，これが $g(x)$ の最大値を与える。したがって

$$ L=g!\left(\frac{1}{m}\right) =\log \frac{1/m}{a}-m\left(\frac{1}{m}-a\right) $$

である。

ここで $h=\dfrac{b}{a}$ とおくと，

$$ b=ah,\qquad b-a=a(h-1),\qquad \log b-\log a=\log h $$

より

$$ m=\frac{\log h}{a(h-1)} $$

である。したがって

$$ \frac{1}{m}=a\frac{h-1}{\log h} $$

となるので，

$$ L=\log \frac{h-1}{\log h} -\frac{\log h}{a(h-1)} \left(a\frac{h-1}{\log h}-a\right). $$

後半を整理すると

$$ \begin{aligned} \frac{\log h}{a(h-1)} \left(a\frac{h-1-\log h}{\log h}\right) &= \frac{h-1-\log h}{h-1} \\ 1-\frac{\log h}{h-1}. \end{aligned} $$

よって

$$ L=\log \frac{h-1}{\log h}-1+\frac{\log h}{h-1}. $$

（3） の証明

$A=\dfrac{p+q+r}{3}$ とおく。$a<p,q,r<b$ だから

$$ a<A<b $$

である。

先ほど定めた

$$ g(x)=\log x-{\log a+m(x-a)} $$

を用いる。$g(a)=g(b)=0$ であり，さらに $g''(x)<0$ だから，$a<x<b$ では

$$ g(x)>0 $$

が成り立つ。また，$g(x)$ の最大値は $L$ であるから

$$ 0<g(x)\le L \qquad (a<x<b) $$

である。

一方，$\log a+m(x-a)$ は一次関数なので，

$$ \begin{aligned} \log a+m(A-a) &= \frac{1}{3}\bigl[(\log a+m(p-a))+(\log a+m(q-a))+(\log a+m(r-a))\bigr] \end{aligned} $$

が成り立つ。したがって

$$ \begin{aligned} \log A-\frac{\log p+\log q+\log r}{3} &=\Bigl(\log A-{\log a+m(A-a)}\Bigr) \\ &\quad -\frac{1}{3}\sum_{x=p,q,r}\Bigl(\log x-{\log a+m(x-a)}\Bigr) \\ &=g(A)-\frac{g(p)+g(q)+g(r)}{3}. \end{aligned} $$

ここで $g(p),g(q),g(r)>0$ であるから，

$$ \log A-\frac{\log p+\log q+\log r}{3} < g(A) \le L $$

となる。よって

$$ \log\left(\frac{p+q+r}{3}\right)-\log\sqrt[3]{pqr}<L $$

すなわち

$$ \log\left(\frac{p+q+r}{3\sqrt[3]{pqr}}\right)<L $$

である。両辺の指数をとれば

$$ \frac{p+q+r}{3\sqrt[3]{pqr}}<e^L $$

ゆえに

$$ \frac{p+q+r}{3}<e^L\sqrt[3]{pqr} $$

が成り立つ。

解説

この問題の本質は，$\log x$ のグラフと，その2点を結ぶ弦 $AB$ との差を関数として捉えることである。

（1） は平均値の定理をそのまま使うだけで済む。これは （2） で極大値を与える点が確かに区間 $(a,b)$ に入ることを保証している。

（2） では，距離 $CP$ を $g(x)$ とおけば，$g''(x)<0$ により極大値が一意に決まる。ここで $h=b/a$ を導入すると，答えが $a,b$ に依らず比 $h$ のみで表せる。

（3） では，$\log x$ と弦 $AB$ のずれ $g(x)$ を用いると，求める不等式は 「平均値をとったときの $\log$ のずれ」が $L$ 以下であることに帰着する。一次関数部分が平均でちょうど打ち消し合うのが決定的である。

答え

**(1)**

$$ a<\frac{b-a}{\log b-\log a}<b $$

**(2)**

$h=\dfrac{b}{a}$ とすると

$$ L=\log \frac{h-1}{\log h}+\frac{\log h}{h-1}-1 $$

**(3)**

$$ \frac{p+q+r}{3}<e^L\sqrt[3]{pqr} $$

が成り立つ。