解説

方針・初手

（1） は $f(x)=e^x-(1+x)$ とおいて増減を調べればよい。

（2） は

$$ P_n:\quad x>0\ \text{のとき}\ e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} $$

という命題を考え、（1） を基底として数学的帰納法で示す。帰納段階では、仮定した不等式を $0$ から $x$ まで積分するのが自然である。

（3） は （2） の結果を $n+1$ 次まで用いて、$\dfrac{e^x}{x^n}$ を下から評価すればよい。

解法1

**(1)**

$$ f(x)=e^x-(1+x) $$

とおく。

すると

$$ f'(x)=e^x-1 $$

である。

$x>0$ のとき $e^x>1$ であるから、

$$ f'(x)>0 $$

となり、$f(x)$ は $x>0$ で単調増加である。

また、

$$ f(0)=e^0-(1+0)=0 $$

であるから、$x>0$ では

$$ f(x)>f(0)=0 $$

となる。

よって、

$$ e^x-(1+x)>0 $$

すなわち

$$ e^x>1+x $$

が成り立つ。

**(2)**

命題

$$ P_n:\quad x>0\ \text{のとき}\ e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} $$

を考える。

まず （1） より、

$$ e^x>1+x $$

が成り立つので、$P_1$ は真である。

次に、$P_n$ が真であると仮定する。すなわち、任意の $t>0$ に対して

$$ e^t>1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+\cdots+\frac{t^n}{n!} $$

が成り立つとする。

この不等式を $0$ から $x\ (>0)$ まで積分すると、

$$ \int_0^x e^t\,dt > \int_0^x \left(1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+\cdots+\frac{t^n}{n!}\right)\,dt $$

となる。

左辺は

$$ \int_0^x e^t\,dt=e^x-1 $$

であり、右辺は

$$ \int_0^x \left(1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+\cdots+\frac{t^n}{n!}\right)\,dt =x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} $$

である。

したがって、

$$ e^x-1>x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} $$

となるので、

$$ e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} $$

を得る。すなわち $P_{n+1}$ も真である。

以上より、数学的帰納法によって任意の自然数 $n$ に対し

$$ e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}\qquad (x>0) $$

が成り立つ。

**(3)**

（2） を $n+1$ に対して用いると、$x>0$ で

$$ e^x>1+\frac{x}{1!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} $$

である。

したがって、

$$ \frac{e^x}{x^n} > \frac{1}{x^n}+\frac{1}{x^{n-1}}+\cdots+\frac{1}{n!}+\frac{x}{(n+1)!} $$

となる。

右辺の最後の項 $\dfrac{x}{(n+1)!}$ は $x\to+\infty$ のとき $+\infty$ に発散するから、

$$ \frac{e^x}{x^n}\to+\infty \qquad (x\to+\infty) $$

である。

解説

この問題の要点は、$e^x$ のテイラー展開の部分和との比較である。

（1） は $e^x-(1+x)$ を見ればすぐに処理できるが、（2） では単純に式変形しても次の項 $\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ は出てこない。そこで、帰納法の仮定を変数 $t$ で書き、積分して次数を1つ上げるのが本質である。

（3） は「指数関数はどんな多項式よりも速く増加する」ことを示している。厳密には、（2） の不等式から $e^x$ が $x^{n+1}$ よりも大きいことを使えば十分である。

答え

**(1)**

$x>0$ のとき

$$ e^x>1+x $$

が成り立つ。

**(2)**

任意の自然数 $n$ に対して、$x>0$ のとき

$$ e^x>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!} $$

が成り立つ。

**(3)**

$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty $$

である。