解説

方針・初手

両辺の不等式を対数で扱うと、示すべきことは

$$ \alpha \log \left(1+\frac{1}{\alpha}\right)<1<\left(\alpha+\frac12\right)\log \left(1+\frac{1}{\alpha}\right) $$

となる。

ここで $t=\dfrac{1}{\alpha}(>0)$ とおけば、

$$ \log(1+t)<t $$

および

$$ \log(1+t)>\frac{2t}{2+t} $$

を示せば十分である。どちらも関数の増減を調べれば証明できる。

解法1

$t=\dfrac{1}{\alpha}(>0)$ とおくと、示すべき不等式は

$$ (1+t)^{1/t}<e<(1+t)^{1/t+1/2} $$

である。

まず左側を示す。

関数

$$ f(t)=t-\log(1+t)\qquad (t>0) $$

を考えると、

$$ f'(t)=1-\frac{1}{1+t}=\frac{t}{1+t}>0 $$

であるから、$f(t)$ は $t>0$ で増加する。さらに

$$ \lim_{t\to 0+} f(t)=0 $$

より、$t>0$ で

$$ f(t)>0 $$

すなわち

$$ \log(1+t)<t $$

が成り立つ。したがって

$$ \frac{1}{t}\log(1+t)<1 $$

であり、指数関数をとれば

$$ (1+t)^{1/t}<e $$

を得る。

次に右側を示す。

関数

$$ g(t)=\log(1+t)-\frac{2t}{2+t}\qquad (t>0) $$

を考えると、

$$ g'(t)=\frac{1}{1+t}-\frac{4}{(2+t)^2} $$

である。これを通分すると

$$ g'(t)=\frac{(2+t)^2-4(1+t)}{(1+t)(2+t)^2} =\frac{t^2}{(1+t)(2+t)^2}>0 $$

となるから、$g(t)$ は $t>0$ で増加する。さらに

$$ \lim_{t\to 0+} g(t)=0 $$

より、$t>0$ で

$$ g(t)>0 $$

すなわち

$$ \log(1+t)>\frac{2t}{2+t} $$

が成り立つ。

よって

$$ \left(\frac{1}{t}+\frac12\right)\log(1+t) > \left(\frac{1}{t}+\frac12\right)\frac{2t}{2+t} =1 $$

であるから、指数関数をとって

$$ e<(1+t)^{1/t+1/2} $$

を得る。

最後に $t=\dfrac{1}{\alpha}$ を戻せば、

$$ \left(1+\frac{1}{\alpha}\right)^\alpha <e< \left(1+\frac{1}{\alpha}\right)^{\alpha+\frac12} $$

が示された。

解説

左側の不等式は $\log(1+t)<t$、右側の不等式は $\log(1+t)>\dfrac{2t}{2+t}$ に帰着される。どちらも対数関数そのものを直接扱うより、差をとった関数を作って微分し、増減から示すのが自然である。

特に右側は少し見つけにくいが、

$$ \left(\alpha+\frac12\right)\log\left(1+\frac1\alpha\right)>1 $$

を $t=\dfrac1\alpha$ に直して整理すると、

$$ \log(1+t)>\frac{2t}{2+t} $$

という形が現れ、微分すると分子が $t^2$ となってきれいに正である。これがこの問題の要点である。

答え

$$ \left(1+\frac{1}{\alpha}\right)^\alpha <e< \left(1+\frac{1}{\alpha}\right)^{\alpha+\frac12} \qquad (\alpha>0) $$

である。