解説

方針・初手

$f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ は商の微分で処理する。導関数の符号が分かれば増減が決まり、さらにその結果を使えば、（3） の確率比較も対数を取って簡潔に判定できる。

解法1

（1） 導関数を求める。

商の微分法より、

$$ f'(x)=\frac{(\log x)'\cdot x-\log x\cdot 1}{x^2} $$

である。ここで

$$ (\log x)'=\frac{1}{x} $$

だから、

$$ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x}{x^2} =\frac{1-\log x}{x^2} $$

となる。

**(2)**

$f(x)$ の増減を調べる。

$x>0$ では $x^2>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $1-\log x$ の符号で決まる。

**(i)**

$0<x<e$ のとき

$$ \log x<1 $$

であるから、

$$ f'(x)>0 $$

となる。したがって $f(x)$ は $0<x<e$ で増加する。

**(ii)**

$x=e$ のとき

$$ f'(e)=0 $$

である。

**(iii)**

$x>e$ のとき

$$ \log x>1 $$

であるから、

$$ f'(x)<0 $$

となる。したがって $f(x)$ は $x>e$ で減少する。

以上より、$f(x)$ は $x=e$ で最大値をとる。最大値は

$$ f(e)=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e} $$

である。

（3） くじA, B のどちらの確率が大きいかを求める。

くじAで49回連続して当たりが出る確率を $P_A$、くじBで50回連続して当たりが出る確率を $P_B$ とすると、

$$ P_A=\left(\frac{1}{50}\right)^{49},\qquad P_B=\left(\frac{1}{49}\right)^{50} $$

である。

このままでは比較しにくいので、対数をとる。

$$ \log P_A=49\log \left(\frac{1}{50}\right)=-49\log 50 $$

$$ \log P_B=50\log \left(\frac{1}{49}\right)=-50\log 49 $$

ここで （2） より、$x>e$ では $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ は減少する。$49,50>e$ であり $49<50$ だから、

$$ \frac{\log 49}{49}>\frac{\log 50}{50} $$

である。両辺に $2450$ をかけると、

$$ 50\log 49>49\log 50 $$

したがって、

$$ -50\log 49<-49\log 50 $$

すなわち

$$ \log P_B<\log P_A $$

となる。対数関数は単調増加であるから、

$$ P_B<P_A $$

である。

よって、くじAで49回連続して当たりが出る確率の方が大きい。

解説

この問題の中心は、$f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ の増減を正確に調べることである。導関数の符号が $x=e$ を境に変わることから、$x>e$ で減少することが分かる。

（3） では確率を直接比較しようとすると見通しが悪いが、対数をとることで

$$ \left(\frac{1}{50}\right)^{49} \quad \text{と} \quad \left(\frac{1}{49}\right)^{50} $$

の比較が、結局

$$ \frac{\log 50}{50} \quad \text{と} \quad \frac{\log 49}{49} $$

の比較に帰着する。ここで （2） の結果をそのまま使えるのがポイントである。

答え

**(1)**

$$ f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2} $$

である。

**(2)**

$f(x)$ は

$$ 0<x<e \text{ で増加},\qquad x>e \text{ で減少} $$

し、$x=e$ で最大値

$$ \frac{1}{e} $$

をとる。

**(3)**

くじAで49回連続して当たりが出る確率の方が大きい。