解説

方針・初手

関数

$$ f(x)=\frac{1}{k}\left((k-1)x+\frac{1}{x^{k-1}}\right) \qquad (k\geqq 2,\ x>0) $$

は，微分すると増減がすぐ分かる形である。また，$f(x)$ は $x$ と $x^{-(k-1)}$ の加重平均であるから，$x>1$ のときの値の大小や，数列 $x_{n+1}=f(x_n)$ の振る舞いも追いやすい。

特に数列については，まず $x_n>1$ が保たれることを示し，そのうえで $x_{n+1}-1$ を $x_n-1$ で評価すれば極限が分かる。

解法1

（1） 関数 $y=f(x)$ の増減と漸近線を調べる。

$f(x)$ を微分すると

$$ f'(x)=\frac{1}{k}\left((k-1)-\frac{k-1}{x^k}\right) =\frac{k-1}{k}\left(1-\frac{1}{x^k}\right) $$

である。

したがって，

• $0<x<1$ では $1-\dfrac{1}{x^k}<0$ より $f'(x)<0$
• $x=1$ では $f'(1)=0$
• $x>1$ では $1-\dfrac{1}{x^k}>0$ より $f'(x)>0$

である。よって $f(x)$ は $(0,1)$ で減少し，$(1,\infty)$ で増加する。

また，

$$ f(1)=\frac{1}{k}\bigl((k-1)\cdot 1+1\bigr)=1 $$

であるから，$x=1$ で最小値 $1$ をとる。

次に漸近線を調べる。

$x\to 0+0$ のとき，

$$ f(x)=\frac{1}{k}\left((k-1)x+\frac{1}{x^{k-1}}\right)\to +\infty $$

であるから，$x=0$ は垂直漸近線である。

また $x\to +\infty$ のとき，

$$ f(x)-\frac{k-1}{k}x=\frac{1}{k x^{k-1}}\to 0 $$

であるから，

$$ y=\frac{k-1}{k}x $$

は斜漸近線である。

以上より，グラフは $x=0$ の近くで $+\infty$ から下がってきて $(1,1)$ で最小となり，その後は増加して，$x\to+\infty$ では直線 $y=\dfrac{k-1}{k}x$ に近づく形である。

（2） 数列 ${x_n}$ が $x_1>1,\ x_{n+1}=f(x_n)$ を満たすとき，$x_n>1$ を示す。

まず，任意の $x>0$ に対して，相加相乗平均より

$$ \frac{(k-1)x+\dfrac{1}{x^{k-1}}}{k}\geqq \sqrt[k]{x^{k-1}\cdot \frac{1}{x^{k-1}}}=1 $$

である。したがって

$$ f(x)\geqq 1 $$

であり，等号成立は相加相乗平均の等号条件から

$$ x=\frac{1}{x^{k-1}} $$

すなわち $x^k=1$，$x>0$ より $x=1$ のときに限る。よって $x>1$ なら $f(x)>1$ である。

ここで $x_1>1$ であるから，$x_2=f(x_1)>1$ となる。さらに $x_n>1$ なら $x_{n+1}=f(x_n)>1$ である。

よって数学的帰納法により，

$$ x_n>1 \qquad (n=1,2,\dots) $$

が成り立つ。

**(3)**

$x_{n+1}-1<\dfrac{k-1}{k}(x_n-1)$ を示し，さらに $\lim\limits_{n\to\infty}x_n$ を求める。

(2) より $x_n>1$ であるから，

$$ x_n^{-(k-1)}<1 $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} x_{n+1}-1 &=\frac{1}{k}\left((k-1)x_n+\frac{1}{x_n^{k-1}}\right)-1 \\ &=\frac{1}{k}\left((k-1)(x_n-1)+\left(\frac{1}{x_n^{k-1}}-1\right)\right) \\ &<\frac{1}{k}(k-1)(x_n-1) \end{aligned} $$

となり，

$$ x_{n+1}-1<\frac{k-1}{k}(x_n-1) $$

が示された。

ここで $r=\dfrac{k-1}{k}$ とおくと，$0<r<1$ であり，

$$ 0<x_{n+1}-1<r(x_n-1) $$

である。これを繰り返すと

$$ 0<x_n-1<r^{,n-1}(x_1-1) $$

を得る。

$r^{,n-1}\to 0\ (n\to\infty)$ であるから，はさみうちの原理により

$$ x_n-1\to 0 $$

すなわち

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=1 $$

である。

解説

この問題の本質は，$f(x)$ が

$$ \frac{(k-1)x+\dfrac{1}{x^{k-1}}}{k} $$

という形をしており，相加相乗平均で $f(x)\geqq 1$ がすぐに出る点にある。これにより，$x_1>1$ から出発した数列が常に $1$ より大きいことが分かる。

さらに，$x_{n+1}-1$ を直接計算すると，余分な項 $\dfrac{1}{x_n^{k-1}}-1$ が負になるため，$x_n-1$ が毎回 $\dfrac{k-1}{k}$ 倍より速く小さくなることが分かる。したがって $x_n$ は $1$ に収束する。

答え

**(1)**

$f'(x)=\dfrac{k-1}{k}\left(1-\dfrac{1}{x^k}\right)$

$(0,1)$ で減少，$(1,\infty)$ で増加

$x=1$ で最小値 $f(1)=1$

垂直漸近線は $x=0$

斜漸近線は $y=\dfrac{k-1}{k}x$

**(2)**

$$ x_n>1 \qquad (n=1,2,\dots) $$

**(3)**

$$ x_{n+1}-1<\frac{k-1}{k}(x_n-1) $$

また，

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=1 $$