解説

方針・初手

（2） は （1） の指数関数による評価を各因子に適用すればよい。 （3） は変数変換 $t=b_n\omega$ を行い、積

$$ \prod_{k=1}^n \left(1-\frac{a_k}{b_n}t\right) $$

が固定した $t$ に対して $e^{-t}$ に近づくことを示して、優収束を用いて極限を処理するのが自然である。

解法1

**(1)**

$a\ge 0$ とし、$\omega\ge 0$ に対して

$$ F(\omega)=e^{-a\omega}-(1-a\omega) $$

とおく。

すると

$$ F(0)=0 $$

であり、

$$ F'(\omega)=-ae^{-a\omega}+a=a\left(1-e^{-a\omega}\right)\ge 0 $$

が成り立つ。したがって $F(\omega)$ は $\omega\ge 0$ で単調増加であるから、

$$ F(\omega)\ge F(0)=0 $$

となる。よって

$$ 1-a\omega\le e^{-a\omega} $$

が示された。

**(2)**

$0\le a_k\le 1$ かつ $0\le \omega\le 1$ であるから、各 $k$ について

$$ 0\le 1-a_k\omega\le e^{-a_k\omega} $$

である。したがって

$$ 0\le I_n(\omega) = b_n\prod_{k=1}^n(1-a_k\omega) \le b_n\prod_{k=1}^n e^{-a_k\omega} = b_n e^{-b_n\omega} $$

を得る。

よって

$$ \int_0^1 I_n(\omega)\,d\omega \le \int_0^1 b_n e^{-b_n\omega}\,d\omega = \left[-e^{-b_n\omega}\right]_{\omega=0}^{1} =1-e^{-b_n} \le 1 $$

となり、示すべき不等式が成り立つ。

**(3)**

仮定より

$$ \frac{b_n}{n}\to 1 $$

であるから、特に $b_n\to \infty$ である。

ここで

$$ J_n=\int_0^1 I_n(\omega)\,d\omega $$

とおく。$n$ が十分大きければ $b_n>0$ なので、変数変換 $t=b_n\omega$ を行うと

$$ J_n =\int_0^{b_n}\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{a_k}{b_n}t\right)\,dt $$

となる。

そこで

$$ g_n(t)= \begin{cases} \displaystyle \prod_{k=1}^n\left(1-\frac{a_k}{b_n}t\right) & (0\le t\le b_n), \\ 0 & (t>b_n) \end{cases} $$

とおけば、

$$ J_n=\int_0^\infty g_n(t)\,dt $$

である。

まず、固定した $t\ge 0$ に対して $g_n(t)\to e^{-t}$ を示す。 $b_n\to\infty$ なので、$n$ が十分大きければ $t/b_n\le 1/2$ であり、各 $k$ について

$$ 0\le \frac{a_k t}{b_n}\le \frac{t}{b_n}\le \frac12 $$

となる。このとき $0\le x\le 1/2$ に対して

$$ -x-2x^2\le \log(1-x)\le -x $$

が成り立つ。実際、右側は $\log(1-x)\le -x$ であり、左側は

$$ \phi(x)=\log(1-x)+x+2x^2 $$

とおくと

$$ \phi(0)=0,\qquad \phi'(x)=-\frac{1}{1-x}+1+4x=\frac{x(3-4x)}{1-x}\ge 0 $$

より従う。

したがって $x=\dfrac{a_k t}{b_n}$ を代入して総和を取ると、

$$ -\sum_{k=1}^n \frac{a_k t}{b_n} -2\sum_{k=1}^n \left(\frac{a_k t}{b_n}\right)^2 \le \log g_n(t) \le -\sum_{k=1}^n \frac{a_k t}{b_n} $$

すなわち

$$ -t-2t^2\frac{\sum_{k=1}^n a_k^2}{b_n^2} \le \log g_n(t) \le -t $$

を得る。ここで $0\le a_k\le 1$ より $a_k^2\le a_k$ であるから、

$$ \sum_{k=1}^n a_k^2\le \sum_{k=1}^n a_k=b_n $$

であり、

$$ -t-\frac{2t^2}{b_n}\le \log g_n(t)\le -t $$

となる。$b_n\to\infty$ より

$$ \log g_n(t)\to -t $$

したがって

$$ g_n(t)\to e^{-t} $$

である。

次に支配関数を与える。$0\le t\le b_n$ では （1） を用いて

$$ 1-\frac{a_k t}{b_n}\le e^{-a_k t/b_n} $$

だから、

$$ 0\le g_n(t) \le \prod_{k=1}^n e^{-a_k t/b_n} = e^{-t} $$

が成り立つ。$t>b_n$ では $g_n(t)=0$ であるから、結局すべての $t\ge 0$ について

$$ 0\le g_n(t)\le e^{-t} $$

を得る。しかも $e^{-t}$ は $[0,\infty)$ で可積分である。

ゆえに優収束定理より

$$ \lim_{n\to\infty}J_n =\int_0^\infty \lim_{n\to\infty} g_n(t)\,dt =\int_0^\infty e^{-t}\,dt =1 $$

となる。すなわち

$$ \lim_{n\to\infty}\int_0^1 I_n(\omega)\,d\omega=1 $$

が示された。

解説

（2） の本質は、積をそのまま扱わず

$$ \prod_{k=1}^n (1-a_k\omega)\le \exp\!\left(-\omega\sum_{k=1}^n a_k\right) $$

と指数関数に押し込めることである。

（3） では $t=b_n\omega$ とおくことで、積の中の係数 $\dfrac{a_k}{b_n}$ が小さくなり、積全体が指数関数 $e^{-t}$ に近づく。さらに （1） により $e^{-t}$ で一様に上から押さえられるので、優収束定理が使える。この流れが中心である。

答え

**(1)**

$a\ge 0,\ \omega\ge 0$ に対して

$$ 1-a\omega\le e^{-a\omega} $$

が成り立つ。

**(2)**

$$ \int_0^1 I_n(\omega)\,d\omega\le 1 $$

である。

**(3)**

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{n}=1$ ならば

$$ \lim_{n\to\infty}\int_0^1 I_n(\omega)\,d\omega=1 $$

である。