解説

方針・初手

(1) は関数 $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ の増減を微分で調べればよい。

(2) は「共有点をもつ」ことと「その点で接線の傾きも一致する」ことを連立して、点 $P$ の $x$ 座標 $t$ と指数 $a$ を決める。

(3) は (1) の結果をそのまま使う。$e^x$ と $x^a$ の大小比較は、対数をとって $\dfrac{\log x}{x}$ の大小に帰着するのが最短である。

解法1

（1） 関数 $f(x)=\dfrac{\log x}{x}$ の最大値

$x>0$ において

$$ f(x)=\frac{\log x}{x} $$

を微分すると

$$ f'(x)=\frac{1-\log x}{x^2} $$

である。

したがって、

• $0<x<e$ では $\log x<1$ なので $f'(x)>0$
• $x>e$ では $\log x>1$ なので $f'(x)<0$

となる。

よって $f(x)$ は $x=e$ で最大となり、その最大値は

$$ f(e)=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e} $$

である。

（2） 曲線 $y=e^x$ と $y=x^a$ が共有点 $P$ をもち、その点で共通の接線をもつときの $a,t$

点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とする。$P$ は両曲線の共有点であるから

$$ e^t=t^a $$

が成り立つ。

また、点 $P$ で共通の接線をもつので、両曲線の傾きも一致する。したがって

$$ e^t=ax^{a-1}\Big|_{x=t}=at^{a-1} $$

である。

ここで

$$ e^t=t^a,\qquad e^t=at^{a-1} $$

を比べると

$$ t^a=at^{a-1} $$

より、$t>0$ だから

$$ t=a $$

を得る。

これを $e^t=t^a$ に代入すると

$$ e^a=a^a $$

である。$a>0$ なので両辺の $a$ 乗根をとって

$$ e=a $$

となる。よって

$$ a=e,\qquad t=e $$

である。

（3） $a,t$ を (2) で求めた実数とするとき、$e^x$ と $x^a$ の大小

(2) より

$$ a=e,\qquad t=e $$

である。

したがって比較すべきものは $e^x$ と $x^e$ である。

$x>0$ に対して

$$ x^e<e^x $$

であることと

$$ e\log x<x $$

であることは同値であり、さらに

$$ \frac{\log x}{x}<\frac{1}{e} $$

であることとも同値である。

ところが (1) より、$\dfrac{\log x}{x}$ の最大値は $\dfrac{1}{e}$ であり、その最大値をとるのは $x=e$ のときに限る。

したがって $x>0,\ x\ne e$ では

$$ \frac{\log x}{x}<\frac{1}{e} $$

が成り立つので

$$ x^e<e^x $$

である。

ゆえに、$x>0,\ x\ne t(=e)$ のとき

$$ e^x>x^a $$

である。

解説

この問題の核は、(1) で $\dfrac{\log x}{x}$ の最大値を押さえることである。

(2) では、共有点の条件

$$ e^t=t^a $$

と、接線の傾き一致の条件

$$ e^t=at^{a-1} $$

を同時に使うと、割り算によってすぐに $t=a$ が出る。ここで遠回りな計算をする必要はない。

(3) は新しく考える内容はほとんどなく、(1) の結果をそのまま利用する問題である。$e^x$ と $x^e$ を直接比較しようとすると見通しが悪いが、対数をとれば $\dfrac{\log x}{x}$ の比較に落ちるので一気に終わる。

答え

**(1)**

最大値は

$$ \frac{1}{e} $$

であり、そのとき

$$ x=e $$

である。

**(2)**

$$ a=e,\qquad t=e $$

である。

**(3)**

$x>0,\ x\ne t(=e)$ のとき

$$ e^x>x^a $$

である。